洛谷P1029 算术基本定理的做法

• 这道题我是用算术基本定理做的。

算术基本定理：

• 对于任意一个正整数n，都可将其分解成这样的形式：
  n=p₁^a1 p₂^a2 p₃^a3 …p_k^ak
• 其中p₁，p₂，p₃…p_k指从2开始的素数，即2，3，5，7，11······；a₁，a₂，a₃…a_k都是自然数。

思路

• 求最大公约数和最小公倍数可以用算术基本定理求。
• gcd*=pow(p[i],min(a1[i],a2[i])); lcm*=pow(p[i],max(a1[i],a2[i]));
• 那么现在就是要分解质因数了。
• 要分解质因数首先得把素数都给找出来吧？

//这里我用的是欧拉筛来打素数表
void ols(int n)
{
	for(ri i=2;i<=n;++i)
	{
		if(!flag[i]) prime[cnt++]=i;
		for(ri j=1;j<=cnt;j++)
		{
			if(i*prime[j]>n) break;
			flag[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0) break;
		}
	}
}

• 素数都找出来了，那么现在就可以分解质因数了。

for(ri i=1;i<=cnt;++i)//遍历每个素数
{
	while(x%prime[i]==0)//分解x
	{
		a1[i]++;
		x/=prime[i];
	}
	while(y%prime[i]==0)//分解y
	{
		a2[i]++;
		y/=prime[i];
	}
	if(x==1&&y==1) break;//分不了了就退出
}

• 分完后就能算gcd和lcm啦！

gcd*=pow(prime[i],min(a1[i],a2[i]));
lcm*=pow(prime[i],max(a1[i],a2[i]));

• 到此，基本工作就做完了。

解题分析

题目传送门

• 题目要求满足条件的数有几个，那么我们就可以假设满足条件的数为x和y，则有x*y=gcd*lcm，即y=gcd*lcm/x。
• 对于这道题，他给的是两个数的最大公约数和最小公倍数，那么显然满足条件条件的两个数都大于gcd，小于lcm。
• 在这里很容易想到解的个数为偶数，因为x，y可以交换，所以我们可以假设x<y，最后答案再乘2就行。（注意这里gcd可能等于lcm，那么此时答案就为1，需要特判）
• 所以我们有gcd<=x<y<=lcm。
• 可以想象满足题意的都是gcd的倍数，所以只需要判断gcd的倍数和此时的y满不满足题意即可。

最后代码如下

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<cstring>
#define ri register int
#define maxn 100001
using namespace std;
int flag[maxn]={1,1};//判断是否是素数
int prime[maxn];//素数打表
int a1[maxn];
int a2[maxn];
int cnt=1;//素数表里的素数个数
inline int read()//快读
{
	ri x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')
	{
		if(ch=='-') f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9')
	{
		x=x*10-'0'+ch;
		ch=getchar();
	}
	return x*f;
}
void ols(int n)//欧拉筛
{
	for(ri i=2;i<=n;++i)
	{
		if(!flag[i]) prime[cnt++]=i;
		for(ri j=1;j<=cnt;j++)
		{
			if(i*prime[j]>n) break;
			flag[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0) break;
		}
	}
}
int main()
{
	ri x0=read(),y0=read(),ans=0;
	if(x0==y0)//特判
	{
		printf("1");
		return 0;
	}
	ols(y0);
	for(ri i=1;i*x0<y0;++i)
	{
		ri x=i*x0,y=x0*y0/x;
		if(x>y) break;
		memset(a1,0,sizeof(a1));//注意每次都要清零
		memset(a2,0,sizeof(a2));
		for(ri j=1;j<=cnt;++j)
		{
			while(x%prime[j]==0)//分解x
			{
				a1[j]++;
				x/=prime[j];
			}
			while(y%prime[j]==0)//分解y
			{
				a2[j]++;
				y/=prime[j];
			}
			if(x==1&&y==1) break;
		}
		ri gcd=1,lcm=1;
		for(ri j=1;j<=cnt;++j)
		{
			gcd*=pow(prime[j],min(a1[j],a2[j]));//求x，y的最大公约数
			lcm*=pow(prime[j],max(a1[j],a2[j]));//求x，y的最小公倍数
		}
		if(gcd==x0&&lcm==y0) ans++;//满足条件ans++
	}
	printf("%d",ans*2);//看分析部分
	return 0;
}

• 看不懂我代码的看这里。