ACM数论模板（转）

最新推荐文章于 2020-12-22 16:13:42 发布

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博客汇总了多种算法相关知识及参考题目，包括最大公约数和最小公倍数、快速幂取模（Montgomery算法）、费马小定理等，还涉及找规律、循环递推、同余式、素数测试、筛选法等内容，并给出了对应HDU的题目链接。

转自：http://www.cnblogs.com/Lee-geeker/p/3372084.html

1.最大公约数和最小公倍数。

//模版
int gcd(int a, int b)
{
    if(a<b){int t=a;a=b;b=t;}
    return a%b==0?b:gcd(b,a%b);
}
int lcm(int a, int b)
{
    return a/gcd(a,b)*b;
}

参考题目：HDU1018 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1108

#include<iostream>

using namespace std;

int gcd(int a, int b){    if(a<b){int t=a;a=b;b=t;}    return a%b==0?b:gcd(b,a%b);}
int lcm(int a, int b){    return a/gcd(a,b)*b;}

int main()
{
    int a,b;
    while(scanf("%d%d",&a,&b)!=EOF)
    {
        printf("%d\n",lcm(a,b));
    }
    return 0;
}

2.快速幂取模（Montgomery算法）

__int64 qpow(int a,int b,int r)//快速幂 
{
    __int64 ans=1,buff=a;
    while(b)
    {
        if(b&1)ans=(ans*buff)%r;
        buff=(buff*buff)%r;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

参考题目：HDU1395　　http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1395

#include<iostream>

using namespace std;

unsigned Montgomery(unsigned n,unsigned p,unsigned m)
{ //快速计算(n^e)%m的值
      unsigned k=1;
      n%=m;
     while(p!=1)
     {
         if(0!=(p&1))k=(k*n)%m;
         n=(n*n)%m;
         p>>=1;
    }
    return(n*k)%m;
}
int main()
{
    int n;
    int flag,i;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        if(!(n&1)||n<=1)
            printf("2^? mod %d = 1\n",n);
        else
            for(i=1;;i++)
            {
                if(Montgomery(2,i,n) == 1)
                {
                    printf("2^%d mod %d = 1\n",i,n);
                    break;
                }
            }
    }
    return 0;
}

参考题目：HDU2035 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2035

#include<iostream>

using namespace std;

__int64 qpow(int a, int p, int r)
{
    int ans = 1;
    int buff = a;
    while(p)
    {
        if(p&1)    ans = (ans*buff)%r;
        buff = buff*buff%r;
        p>>=1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    int a,b;
    while(scanf("%d%d",&a,&b)!=EOF&&(a!=0&&b!=0))
    {
        printf("%d\n",qpow(a,b,1000));
    }
    return 0;
}

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int a,b,ans;
    while(cin>>a>>b)
    {
        if(!a && !b)
            break;
        ans=0;
        a=a%1000;
        int tmp=a;
        while(b-->1)
        {
            a=(a*tmp)%1000;
        }
        cout<<a<<endl;
    }
    return 0;
}

3.费马小定理

费马小定理是数论中的一个重要定理，其内容为：假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a^(p-1) ≡1（mod p）。即：假如p是质数，且a,p互质，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

4196 4704

4.找规律，循环问题，递推

1005 1021 2050 1719

5.同余式，中国剩余定理

3430 1573

6.米勒拉宾素数测试

__int64 qpow(int a, int b, int r)
{
    __int64 ans=1, buffer=a;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans = ans*buffer%r;
        buffer = buffer*buffer%r;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
bool Miller_Rabbin(int n, int a)
{
    int r=0,s=n-1,j;
    if(!(n%a))
        return false;
    while(!(s&1))
    {
        s>>=1;
        r++;
    }
    __int64 k=qpow(a,s,n);
    if(k==1)
        return true;
    for(j=0;j<r;j++,k=k*k%n)
    {
        if(k==n-1)
                return true;        
    }
    return false;
}

bool IsPrime(int n)
{
    int tab[]={2,3,5,7,11};
    for(int i=0;i<5;i++)
    {
        if(n==tab[i])
            return true;
        if(!Miller_Rabbin(n,tab[i]))
            return false;    
    }
    return true;
}

参考题目：HDOJ2138 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2138

#include<iostream>


using namespace std;


__int64 qpow(int a, int b, int r)
{
    __int64 ans=1, buffer=a;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans = ans*buffer%r;
        buffer = buffer*buffer%r;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
bool Miller_Rabbin(int n, int a)
{
    int r=0,s=n-1,j;
    if(!(n%a))
        return false;
    while(!(s&1))
    {
        s>>=1;
        r++;
    }
    __int64 k=qpow(a,s,n);
    if(k==1)
        return true;
    for(j=0;j<r;j++,k=k*k%n)
    {
        if(k==n-1)
                return true;        
    }
    return false;
}

bool IsPrime(int n)
{
    int tab[]={2,3,5,7,11,13};
    for(int i=0;i<6;i++)
    {
        if(n==tab[i])
            return true;
        if(!Miller_Rabbin(n,tab[i]))
            return false;    
    }
    return true;
}

int main()
{
    int i,N;
    long tmp, count;
    while(scanf("%d",&N)!=EOF)
    {
        count = 0;
        for(i=0;i<N;i++)
        {
            scanf("%ld",&tmp);
            if(IsPrime(tmp))
                count++;
        }
        printf("%d\n",count);
    }
}

7.筛选法

1999 1286 2098

8.素数的筛选法，穷举，因数，判定等

#include<iostream>

using namespace std;

bool prime[10000+5];

void Init()
{
    for(int i = 2; i <= 10000; ++i)
    {
        prime[i] = true;
    }
    for(int i =2;i <= 10000; ++i)
    {
        if(prime[i] == true)
        {
            for(int j = 2; i*j <= 10000; ++j)
                prime[i*j] = false;
        }
    }
}

//保存素数
#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;

#define N 100001
bool IsPrime[N];
int Prime[N],cnt;

void Init_Prime_Table()
{
    long long int i,j;//注意,i比较大时会容易超int的范围。
     
    cnt = 0;
    memset(IsPrime,true,sizeof(IsPrime));
    IsPrime[1] = false;
    for(i=2;i<=N;i++)
    {
        if(IsPrime[i])
        {
            Prime[cnt++] = i;
            for(j=i*i;j<=N;j+=i)
                IsPrime[j] = false;
        }
    }
}


int main()
{
    Init_Prime_Table();
    for(int i=0;i<1000;i++)
    {
        printf("%5d",Prime[i]);
    } 
    
    return 0;
}

2098 2161

9.普通素数判定

bool IsPrime(int n)
{
    int i = 0;
    if(n<=2) return false;
    for(i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)
            return false;
    }
    return true;
}