基于branch and bound插入的large neighborhood search

一、前言

今年开年那会还在做一个课题的实验，那时候想用large neighborhood search来做一个问题，但是后来发现常规的一些repair、destroy算子效果并不是很好。后来才知道，large neighborhood search以及它的衍生算法，这类框架给人一种非常通用的感觉，就是无论啥问题都能往里面套。

往往的结果是套进去效果也是一般。这也是很多刚入行的小伙伴经常喜欢干的事吧，各种算法框架套一个问题，发现结果不好了就感觉换下一个。最后复现了N多个算法发现依然no process，这时候就会怀疑人生了。其实要想取得好的performance，肯定还是要推导一些问题特性，设计相应的算子也好，邻域结构也好。

好了，回到正题。当时我试了好几个large neighborhood search算子，发现没啥效果的时候，心里难受得很。那几天晚上基本上是转辗反侧，难以入眠，当然了是在思考问题。然后一个idea突然浮现在我的脑瓜子里，常规的repair算子难以在问题中取得好的performance，是因为约束太多了，插入的时候很容易违背约束。在不违背约束的条件下又难以提升解的质量，我就想能不能插入的啥时候采取branch and bound。遍历所有的可能插入方式，然后记录过程中的一个upper bound用来删掉一些分支。

感觉是有搞头的，后来想想，这个branch的方法以及bound的方法似乎是有点难设计。然后又搁置了几天，最后没进展的时候突然找了一篇论文，是好多年前的一篇文章了。里面详细讲解了large neighborhood search中如何利用branch and bound进行插入，后来实现了以下感觉还可以。感觉这个方法还是有一定的参考价值的，因此今天就来写写（其实当时就想写了，只不过一直拖到了现在。。。）

二、large neighborhood search

关于这个算法，我在此前的推文中已经有过相应的介绍，详情小伙伴们可以戳这篇的链接进行查看：

自适应大邻域搜索(Adaptive Large Neighborhood Search)入门到精通超详细解析-概念篇

我把其中的一段话摘出来：

大多数邻域搜索算法都明确定义它们的邻域。 在LNS中，邻域是由$destroy$和$repair$方法隐式定义的。$destroy$方法会破坏当前解的一部分，而后$repair$方法会对被破坏的解进行重建。$destroy$方法通常包含随机性的元素，以便在每次调用$destroy$方法时破坏解的不同部分。

那么，解$x$的邻域$N(x)$就可以定义为：首先通过利用$destroy$方法破坏解$x$，然后利用$repair$方法重建解$x$，从而得到的一系列解的集合。LNS算法框架如下：

有关该算法更详细的介绍可以参考Handbook Of Metaheuristics这本书2019版本中的Chapter 4
Large Neighborhood Search（David Pisinger and Stefan Ropke），文末我会放出下载的链接。

关于destroy算子呢，有很多种，比如随机移除几个点，贪心移除一些比较差的点，或者基于后悔值排序移除一些点等，这里我给出文献中的一种移除方式，Shaw (1998)提出的基于$relateness$进行移除：

假设需要从解中所有的$Customers$移除$n$个，它首先随机选择一个 C u s t o m e r Customer Customer</