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最新推荐文章于 2026-01-07 11:46:22 发布

原创最新推荐文章于 2026-01-07 11:46:22 发布 · 453 阅读

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本文介绍了一种针对连续数字序列的求和算法，利用数字长度和符号规律优化计算过程，适用于1到N的数字序列求和，特别是对于大规模数据集表现高效。

Description

给你一个正整数N,依次把1到N写下来，在每两个数字之间交替的加上+,-号(注意是数字不是数)，求这个表达式的值。例如，N=15时，表达式为1-2+3-4+5-6+7-8+9-1+0-1+1-1+2-1+3-1+4-1+5

Input

一个正整数N。

Output

表达式的值。

沉痛悼念分块打表写挂最后只有裸的20分暴力分...

首先我们打个表可以发现一些有用的规律，

第一,10的i次方数字和的增长值为5,45,-450,4500,-45000...，这个规律就很明显了，（好吧我并没有找到这个规律）

第二,如果数字长度为奇数，那么每两个数字答案会增长1，（拿着这个规律和奇数位的奇怪规律推了三个小时没推出来）

那么通过第一个规律，我们就可以先算出1-(10^(len-1)）次方的值，接着如果数字长度为奇数，可以直接通过第二个结论直接计算答案，如果数字长度为偶数，那么需要如数位dp一样按位进行转移了。

首先我们可以预处理一个dp[i][j]表示当前长度为i，第一位为j的答案，那么观察一下很容易发现，如果长度为偶数的话，j每增加1答案会减少j*10(i-1)，长度为奇数的话，j每增加1答案会增加j*10(i-1)，所以根据此就可以转移dp方程了。

接着就直接按位处理了，注意当长度等于1的时候，数字是完全覆盖的，之前不是完全覆盖所以答案添加的是dp[长度][当前位-1],但是如果在第一位就不必要-1了。

下附AC代码。

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define maxn 25
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n;
ll st[maxn];
ll mypow[maxn],dp[maxn][maxn],sum[maxn]={0,5,-45,450},temp[maxn];
ll getnum(ll now)
{
	ll ans=0;
	for(int i=1;i<=20;i++)
	{
		if(now==0) return ans;
		if(i&1) ans+=now%10;
		else ans-=now%10;
		now/=10;
	}
}
int main()
{
	scanf("%lld",&n); mypow[0]=1;
	for(int i=1;i<=17;i++) mypow[i]=mypow[i-1]*10;
	for(int i=4;i<=17;i++) sum[i]=sum[i-2]*100;
	int len=0; ll ans=0;
	for(int i=1;i<=17;i++)
	{
		if(mypow[i]>n) {len=i-1;break;}
		ans+=sum[i];
	}

	for(int i=1;i<=17;i++)
	for(int j=0;j<=9;j++)
	{
		if(!j) dp[i][j]=dp[i-1][9];
		else if(i&1) dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][9]+mypow[i-1]*j;
		else dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][9]-mypow[i-1]*j;
	}
	if(len&1)
	{
		ll temp=0,now=n;
		for(int i=1;i<=len+1;i++)
		{
			st[i]=now%10;
			now/=10;
		}
		ans-=dp[len+1][0];
        for (int i=len+1;i>=1;i--)
        {
            if (st[i] || i==1)
			ans+=temp*(st[i]+(i==1))*mypow[i-1]+dp[i][st[i]+(i==1)-1];
            if (i&1)temp+=st[i];
            else temp-=st[i];
        }
	}
	else
	{
		if(n&1) ans+=(n-mypow[len])/2+1;
		else ans+=(n-mypow[len]+1)/2-getnum(n);
	}
	printf("%lld\n",ans);
}