字符串系列（六）——回文自动机

最新推荐文章于 2025-05-06 15:38:28 发布

原创最新推荐文章于 2025-05-06 15:38:28 发布 · 492 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

字符串同时被 2 个专栏收录

12 篇文章

订阅专栏

回文自动机

1 篇文章

订阅专栏

本文介绍了2014年发明的回文自动机算法，详细解释了节点、数组定义及如何构建回文树。通过实例代码展示了算法的具体实现过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

想不到吧我还在更新哈哈哈哈哈。
这里写图片描述
今天带来一个2014年发明的算法——回文自动机。
既然写了这篇博客，那我就说得全面一些。

回文自动机

这个算法也称回文树。
可以类比一些其他的自动机，回文自动机也是有许多节点、许多next、许多fail的。

1、节点的那些事

每个节点都表示一个回文子串（注意了啊，只表示一个，SAM才是一类），且任意两个节点所表示的串必定不全等。（可以用数归证明，一个长度为n的串，其本质不同的回文子串数在O(n)级别）

2、数组定义

$next[i][c]$ 表示在i节点所代表的串的两端各添加一个字符c，得到的那个新回文子串所在的节点。
$fail[i]$ 表示i节点的串的最长回文后缀。
$cnt[i]$ 表示这个串共出现了几次。
$len[i]$ 表示节点i这个串的长度。
$num[i]$ 表示这个串有多少回文后缀。

int nxt[N][26]; //i节点对应的回文串在两边各加一个字符后变成的节点编号
int fail[N]; //fail[i]表示的串是i的最长后缀回文串
int cnt[N]; //表示这个串出现过几次 
int num[N]; //节点i这个串的后缀有多少是回文的
int len[N]; //节点i表示的回文串的长度
int S[N]; //S[i]是第i次添加的字符
int last; //以n结束的最长回文串所在的节点
int n; //目前添加的字符个数
int p; //下一个新建节点的标号

3、回文串长度奇偶处理

在初始时，0节点赋0的长度，1节点赋-1的长度。last指向0，0的fail指向1。同时Str[0] = -1。

具体原因不讲。

inline int newnode(int l) {
    //新建节点
    for(int i = 0; i < 26; ++i) nxt[p][i] = 0;
    cnt[p] = num[p] = 0;
    len[p] = l;
    return p++;
}
inline void init() {
    p = 0;
    newnode(0);
    newnode(-1);
    last = n = 0;
    S[n] = -1;
    fail[0] = 1;
}

4、判断合法

新加进来一个字符时，只有 $Str[Nnow-len[x]-1] = Str[Nnow]$ 我们才可以说是能构成一个新的回文串（构成回文节点唯一方法，就是在已有基础上找一个节点，在其两端各拓展一个字符，也就是我们所说的找到一个x，使式子成立）。
于是我们就可以去不停给last跑fail，直到满足条件。

inline int get_fail(int x) {
    while(S[n - len[x] - 1] != S[n]) x = fail[x];
    return x;
}

5、加一个字符进来

inline void add(int c) {
    S[++n] = c;
    int cur = get_fail(last); //通过上一个回文串找这个串的匹配位置
    if(!nxt[cur][c]) {
        //这个回文串从未出现过
        int now = newnode(len[cur] + 2);
        fail[now] = nxt[get_fail(fail[cur])][c]; //和AC自动机简直不要太类似
        nxt[cur][c] = now;
        num[now] = num[fail[now]] + 1;
    }
    last = nxt[cur][c];
    ++cnt[last];
}

5、把cnt搞对

inline void dp() {
    for(int i = p - 1; i >= 0; --i) cnt[fail[i]]+= cnt[i];
}

加完所有串之后，dp一下才对。
这个东西极妙，最好背一下板子。

贴一个 $【APIO2014】$ 回文串的 $code$ ：

#include <cstdio>
#define N 300010
inline long long mymax(long long x, long long y) {return x > y ? x : y;}
struct Palindromic_Tree {
    int nxt[N][26]; //i节点对应的回文串在两边各加一个字符后变成的节点编号
    int fail[N]; //fail[i]表示的串是i的最长后缀回文串
    int cnt[N]; //表示这个串出现过几次 
    int num[N]; //节点i这个串的后缀有多少是回文的
    int len[N]; //节点i表示的回文串的长度
    int S[N]; //S[i]是第i次添加的字符
    int last; //以n结束的最长回文串所在的节点
    int n; //目前添加的字符个数
    int p; //下一个新建节点的标号
    inline int newnode(int l) {
        //新建节点
        for(int i = 0; i < 26; ++i) nxt[p][i] = 0;
        cnt[p] = num[p] = 0;
        len[p] = l;
        return p++;
    }
    inline void init() {
        p = 0;
        newnode(0);
        newnode(-1);
        last = n = 0;
        S[n] = -1;
        fail[0] = 1;
    }
    inline int get_fail(int x) {
        while(S[n - len[x] - 1] != S[n]) x = fail[x];
        return x;
    }
    inline void add(int c) {
        S[++n] = c;
        int cur = get_fail(last); //通过上一个回文串找这个串的匹配位置
        if(!nxt[cur][c]) {
            //这个回文串从未出现过
            int now = newnode(len[cur] + 2);
            fail[now] = nxt[get_fail(fail[cur])][c]; //和AC自动机简直不要太类似
            nxt[cur][c] = now;
            num[now] = num[fail[now]] + 1;
        }
        last = nxt[cur][c];
        ++cnt[last];
    }
    inline void dp() {
        for(int i = p - 1; i >= 0; --i) cnt[fail[i]]+= cnt[i];
    }
    inline void work() {
        init();
        char c = getchar();
        while(c >= 'a' && c <= 'z') {
            add(c - 'a');
            c = getchar();
        }
        dp(); long long ans = 0;
        for(int i = p - 1; i >= 0; --i) ans = mymax(ans, 1ll * cnt[i] * len[i]);
        printf("%lld", ans);
    }
}pdtree;
int main() {
    pdtree.work();
    return 0;
}