离散数学——3 谓词逻辑

第一部分：为什么需要谓词逻辑？

命题逻辑有其局限性，它将每个句子看作一个独立的、不可分割的命题。它无法分析句子内部的结构和各个成分之间的联系。

经典例子：苏格拉底三段论

1. 前提1 §: 凡是人都会死。
2. 前提2 (Q): 苏格拉底是人。
3. 结论 ®: 所以，苏格拉底会死。

在命题逻辑中，我们只能将其表示为 $(P\wedge Q)\to R$。这个公式本身并不是一个永真式，它无法揭示出为什么这个推理是正确的。要理解其内在逻辑，我们必须深入分析句子内部的成分，如“凡是”、“人”、“苏格拉底”、“会死”等。这正是谓词逻辑要解决的问题。

第二部分：谓词逻辑的基本构成

谓词逻辑通过引入“个体词”、“谓词”和“量词”来分析命题的内部结构。

1. 个体词 (Individual Terms)

个体词是指句子中所讨论的独立存在的对象，可以是一个具体事物，也可以是一个抽象概念。

• 个体常项 (Individual Constant): 表示一个具体或特定的个体。通常用小写字母 a, b, c, … 表示。
  • 例如：“苏格拉底”、“2”、“吉林大学”。
• 个体变项 (Individual Variable): 表示一个抽象或泛指的个体。通常用小写字母 x, y, z, … 表示。
  • 例如：“人”、“学生”、“数”。
• 个体域 (Domain of Individuals / Universe of Discourse): 个体变项的取值范围。
  • 可以是有限集合，如：D={ 1,2,3,4}D = \{1, 2, 3, 4\}D={ 1,2,3,4}。
  • 也可以是无限集合，如：$N$ (自然数集)，$R$ (实数集)。
  • 重要： 如果没有特别声明，我们通常默认个体域是包含宇宙万物的全总个体域。

2. 谓词 (Predicates)

谓词是用来描述个体词的性质或彼此之间关系的词。通常用大写字母 F, G, H, … 表示。

• n元谓词: 含有n个个体词的谓词。
  • 一元谓词 ($n=1$): 表示个体的性质。
    • 例如：$F(x)$ 可以表示 “x是偶数”。如果 $x=2$，则 $F(2)$ 为真命题。
  • 二元谓词 ($n=2$): 表示两个个体之间的关系。
    • 例如：$L(x,y)$ 可以表示 “x比y高”。如果 a=张三，b=李四，则 $L(a,b)$ 表示“张三比李四高”。
  • n元谓词 ($n\ge 2$): 表示n个个体之间的关系。例如 $P(x,y,z)$。
  • 零元谓词 ($n=0$): 不带任何个体变项的谓词，其实质就是一个命题。

3. 量词 (Quantifiers)

量词是用来表示数量的词。

• 全称量词 (Universal Quantifier):

  • 符号: $\forall$
  • 含义: 对应日常语言中的“所有的”、“任意一个”、“每一个”。
  • 示例: $\forall xF(x)$ 表示“对于个体域中的所有个体x，x都具有性质F”。

• 存在量词 (Existential Quantifier):

  • 符号: $\exists$
  • 含义: 对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有的”。
  • 示例: $\exists xF(x)$ 表示“在个体域中存在个体x，x具有性质F”。

第三部分：命题符号化：核心技巧与实例

这是考试的重点和难点。掌握如何将自然语言命题转化为谓词逻辑公式至关重要。

技巧1：根据个体域选择正确的符号化方法

• 方法A：限定个体域
  如果我们将个体域 $D$ 直接限定为“人类集合”，那么：

  • “所有的人都要死的” $\to \forall xF(x)$
    • 其中 $F(x)$: x是要死的。
  • “有的人能活100岁以上” $\to \exists xG(x)$
    • 其中 $G(x)$: x能活100岁以上。

• 方法B：使用全总个体域 + 特性谓词
  如果个体域是全总个体域（默认情况），我们需要引入一个特性谓词来限定我们讨论的对象的范围。例如，我们用 $M(x)$ 表示 “x是人”。

  • 全称量词 $\forall$ 通常与蕴含联结词 $\to$ 配合使用。

    • “所有的人都要死的” $\to \forall x(M(x)\to F(x))$
    • 解读: “对于任意的x，如果x是人，那么x是要死的。”

  • 存在量词 $\exists$ 通常与合取联结词 $\wedge$ 配合使用。

    • “有的人能活100岁以上” $\to \exists x($