算法分析与设计——6 分支限界法

一、 核心思想一览：分支限界法是什么？

首先，忘掉复杂的定义，我们用一个比喻来理解：

想象你在一个巨大的迷宫里寻找最短的出口路径（最优化问题）。

• 穷举法：像无头苍蝇，把每一条路都走到死胡同，再回来，效率极低。
• 回溯法 (DFS)：像个执着的探险家，选一条路就走到黑，不撞南墙不回头。这是一种“深度优先”的策略。
• 分支限界法 (BFS-like)：你是一个“聪明的”探险家，站在迷宫的入口，同时派出很多个机器人去探索不同的岔路口。你有一个全局的“活结点列表”，并且每个机器人都会实时向你汇报：“我这条路估计走出去最少还要多远”。你会优先关注那些“最有前途”（估计总路程最短）的机器人，让它继续前进。这是一种“广度优先”或“最佳优先”的策略。

总结来说，分支限界法的本质是：

1. 分支 (Branch)：系统地探索解空间，即生成问题的各种可能状态（解）。
2. 限界 (Bound)：设立一个“界限”，用这个界限去剪掉那些不可能产生最优解的分支，从而避免不必要的搜索，提高效率。

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二、 与回溯法的深度对比 (笔试高频考点)

这是理解分支限界法定位的关键，用一个表格来对比，方便你记忆：

特性	回溯法 (Backtracking)	分支限界法 (Branch and Bound)
搜索方式	深度优先 (DFS)，一条路走到黑。	广度优先 (BFS) 或 最佳优先 (Best-First)，全面铺开，择优发展。
目标任务	主要用于找出满足条件的所有解或任意一个解（如N皇后、数独）。	主要用于求解最优化问题（如TSP、0/1背包），寻找最优解。
数据结构	隐式地使用栈（通过系统递归实现）。	显式地使用队列 (Queue) 或 优先队列 (Priority Queue) 来管理活结点。
结点扩展	每次只扩展当前结点的一个子结点。	每次扩展当前结点的所有子结点，并把它们都加入活结点列表。
内存消耗	相对较小，因为它只保存从根到当前结点的路径。	相对较大，因为它需要存储所有活结点。

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三、 分支限界法的“三驾马车”：算法核心构成

要掌握分支限界法，就要理解它的三个核心部件。这三个部件协同工作，构成了整个算法的骨架。

1. 分支策略 (如何搜索？) - 活结点表

“活结点表”存储了所有已经生成但其子结点尚未被完全探索的结点。选择下一个要探索的结点（E-结点）的方式，决定了分支限界法的不同类型：

• FIFO (先进先出) 策略：用队列 (Queue) 实现活结点表。这是一种广度优先搜索，按层级顺序探索。
• LIFO (后进先出) 策略：用栈 (Stack) 实现活结点表。这使得搜索过程类似于深度优先。
• LC (最小成本/Least Cost) 策略：这是最强大、最常用的一种，也叫优先队列式分支限界法。它使用优先队列 (Priority Queue) 来存储活结点，每次都从队列中取出“成本估计值”最优的结点进行探索。这体现了“智能搜索”的思想。机试中，99%的情况都是用这种策略。

2. 限界函数 (如何剪枝？) - 效率的关键

这是分支限界法的灵魂！限界函数的设计直接决定了算法的效率。它分为两部分：估计函数 和 剪枝规则。

• 对于【最小值】问题 (如TSP、作业排序)：

  • 代价估计函数 ĉ(x)：对于当前结点 x，我们需要估算从它出发能得到的最小总成本。这个估计值必须是真实最小成本的下界 (Lower Bound)，即 ĉ