算法分析与设计——2 分治法

第一部分：分治法的核心思想与识别

这是你在机试中面对未知题目时，判断是否应该使用分治法的关键。

1. 什么是分治法？

分治法是一种解决问题的通用范式。它的核心思想是：将一个难以直接解决的大问题，分割成若干个规模较小的、相互独立的、与原问题形式相同的子问题，然后递归地去解决这些子问题。最后，将各个子问题的解合并，从而得到原问题的解。

可以记下这三个标志性的步骤：

• 分解 (Divide): 将原问题分解为一系列子问题。
• 解决 (Conquer): 递归地求解各个子问题。若子问题足够小，则直接求解。
• 合并 (Combine): 将子问题的解合并成原问题的解。

2. 如何在机试中识别分治法题目？

当你看到一个问题，可以试着问自己以下几个问题：

• 这个问题的输入数据（例如数组、点集）能否被“一分为二”？
• 如果我已经解决了左半部分和右半部分，我能否通过一些相对简单的操作，将这两个答案合并成最终答案？
• 这个“合并”操作的复杂度是否比暴力求解整个问题的复杂度要低？

如果答案都是“是”，那么这道题很可能就是分治法的用武之地。例如，排序问题、在有序数组中查找、求解最大子数组等，都具有鲜明的“可分”和“可合”的特性。

第二部分：通用时间复杂度分析 (笔试重点)

分治算法的运行时间通常通过解递归关系式来确定。掌握它，笔试中的分析题就迎刃而解了。

通用形式为： $T(n)=aT(n/b)+f(n)$

• $n$: 问题规模
• $a$: 递归产生的子问题数量
• $n/b$: 每个子问题的规模
• $f(n)$: 分解问题和合并解所需的时间

常见结论 (主定理的简化形式):

1. $T(n)=2T(n/2)+O(n)$ $\Rightarrow$ $T(n)=O(n\log n)$

   • 解释: 每次把问题分成2个规模为一半的子问题，合并需要 $O(n)$ 时间。
   • 经典例子: 归并排序、最大子数组问题、二维极大点。

2. $T(n)=T(n/2)+O(1)$ $\Rightarrow$ $T(n)=O(\log n)$

   • 解释: 每次把问题规模缩小一半，分解和合并都是常数时间。
   • 经典例子: 二分检索。

3. $T(n)=2T(n/2)+O(1)$ $\Rightarrow$ $T(n)=O(n)$

   • 解释: 每次分成2个子问题，但合并是常数时间。
   • 经典例子: 寻找最大最小元素。

4. $T(n)=aT(n/b)+O(n^d)$

   • 若 $a>b^d$, 则 $T(n)=O(n^{{\log }_{b}a})$ (例如斯特拉森矩阵乘法)
   • 若 $a=b^d$, 则 $T(n)=O(n^d\log n)$ (例如归并排序)
   • 若 $a<b^d$, 则 $T(n)=O(n^d)$

第三部分：经典算法详解 (笔试与机试核心)