数据结构——22. KMP算法和Trie树

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#数据结构

于 2025-06-26 13:26:49 首次发布

第一部分：KMP 字符串匹配算法

KMP 算法是一种高效的字符串匹配算法，它的核心在于避免了在文本串中不必要的回溯，从而将时间复杂度从暴力匹配的 $\times n)$ 优化到 $O (m + n)$ 。

1. 核心问题：模式匹配

目标串 (Target String)：一个较长的字符串，我们通常用 S 表示，长度为 n。
模式串 (Pattern String)：一个较短的，我们希望在目标串中查找的字符串，通常用 P 表示，长度为 m。
目标：在 S 中找到 P 首次出现的位置。

2. 朴素（暴力）匹配算法及其弊端

朴素算法的思路很简单：

将 S 的第一个字符与 P 的第一个字符对齐，然后逐一比较。
如果所有字符都匹配成功，则返回起始位置。
如果中途遇到不匹配的字符，则将 P 向后移动一位，再次从 P 的第一个字符开始与 S 的新位置对齐比较。
重复此过程，直到找到匹配或 S 遍历完毕。

弊端：效率低下。在最坏情况下（例如 S=“aaaaaaaaab”, P=“aaab”），每次失配后，S 的指针 i 都要回溯，P 的指针 j 都要归零，导致大量重复比较。

3. KMP 算法的核心思想

KMP算法的巧妙之处在于，当 S[i] 与 P[j] 发生不匹配时，它不会简单地将 i 回溯，j 归零。而是利用已经匹配过的信息，让模式串 P 尽可能地向右滑动多位，并让 j 跳转到一个新的位置继续比较。

这个“跳转到哪里”的信息，就存储在一个预先计算好的辅助数组中，这个数组通常被称为 next 数组 (在你的课件中也被称为“失败函数” f(j) 的计算结果)。

4. 关键：`next` 数组 (前缀函数)

next 数组是 KMP 算法的精髓，它完全根据模式串 P 本身的结构来计算。

定义：next[j] 的值表示 P 的子串 P[0...j-1] 中，最长相等前后缀的长度。
- 前缀：指除最后一个字符以外，字符串的所有头部子串。
- 后缀：指除第一个字符以外，字符串的所有尾部子串。
- 最长相等前后缀：例如，对于字符串 “ababa”，
  - 前缀有: “a”, “ab”, “aba”, “abab”
  - 后缀有: “b”, “ba”, “aba”, “baba”
  - 相等的前后缀有 “a” 和 “aba”。最长的那个是 “aba”，长度为 3。
作用：当 S[i] 和 P[j] 不匹配时，我们不必从头再来。我们知道 S[i-j ... i-1] 已经和 P[0 ... j-1] 匹配成功了。根据 next 数组，我们知道 P[0 ... j-1] 的一个长度为 k = next[j] 的前缀 P[0 ... k-1] 和它的一个后缀 P[j-k ... j-1] 是相等的。因此，我们可以直接将模式串向右滑动，让这个前缀 P[0 ... k-1] 对齐到刚刚匹配上的后缀位置，然后从 P[k] 继续和 S[i] 进行比较。这个过程指针 i 完全不需要回溯。
计算示例：以模式串 P = "ababc" 为例计算 next 数组。
- j=0: P[0...-1] (空串)，没有前后缀，next[0] = 0。(在某些实现中，为了方便设为-1，我们这里统一设为0)
- j=1: P[0...0] = “a”，最长相等前后缀长度为 0，next[1] = 0。
- j=2: P[0...1] = “ab”，最长相等前后缀长度为 0，next[2] = 0。
- j=3: P[0...2] = “aba”，最长相等前后缀为 “a”，长度为 1，next[3] = 1。
- j=4: P[0...3] = “abab”，最长相等前后缀为 “ab”，长度为 2，next[4] = 2。
- j=5: P[0...4] = “ababc”，最长相等前后缀长度为 0，next[5] = 0。
- 所以，P = "ababc" 的 next 数组为 [0, 0, 0, 1, 2]。

5. KMP 算法实现 (机试必备)

a. next 数组的计算

// C++ 实现
#include <vector>
#include <string>

void computeNext(const std::string& p, std::vector<int>& next) {
   
   
    int m = p.length();
    next.resize(m, 0);
    for (int i = 1, len = 0; i < m; ) {
   
   
        if (p[i] == p[len]) {
   
   
            len++;
            next[i] = len;
            i++;
        } else {
   
   
            if (len != 0) {
   
   
                len = next[len - 1];
            } else {
   
   <