数据结构——19.二叉查找树

第一部分：二叉查找树 (Binary Search Tree, BST)

二叉查找树，也叫二叉搜索树或二叉排序树，是数据结构中非常重要的一种。它之所以重要，是因为它能高效地支持查找、插入和删除等动态操作。

1. 核心定义

二叉查找树 (BST) 是一棵二叉树，它或者为空，或者满足以下性质：

• 若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值。
• 若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值。
• 它的左、右子树也分别为二叉查找树。

这个定义是递归的。一个关键的推论是：对二叉查找树进行中序遍历（左-根-右），可以得到一个递增的有序序列。这个特性是BST很多应用的基础。

• 优点：查找、插入、删除的平均时间复杂度都很优秀，为 $O({\log }_{2}N)$。
• 缺点：在某些极端情况下，例如插入一个已经有序的序列，BST会退化成一个链表。此时，所有操作的时间复杂度会恶化到 $O(N)$。

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平衡的二叉查找树 vs. 退化的二叉查找树

为了直观地展示二叉查找树 (BST) 在不同插入顺序下的形态差异，以及这种差异如何影响查找效率，请看以下两个示例：

1. 平衡的BST (Balanced BST)

当插入的数据序列比较随机时，我们有很大概率得到一棵接近平衡的树。

示例：依次插入序列 {50, 30, 70, 20, 40, 60, 80}

形态图 (Mermaid):