DBSCAN聚类算法

一、DBSCAN简介

DBSCAN是一种基于密度的聚类算法，由Martin Ester等人在1996年提出（论文标题：《A Density-Based Algorithm for Discovering Clusters in Large Spatial Databases with Noise》）。与K-Means等基于质心的聚类算法不同，DBSCAN通过识别数据点的“密度连接”区域来形成簇，能够发现任意形状的簇，并且对噪声点（异常点）具有鲁棒性。

核心思想

DBSCAN基于以下假设：

• 数据集中存在高密度区域（簇），这些区域由低密度区域分隔。
• 簇内的点在空间上是“密度可达”的，而噪声点则位于低密度区域。

DBSCAN不需要预先指定簇的数量（不像K-Means需要指定K），这使得它在处理未知数据集时非常灵活。

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二、DBSCAN的核心概念

要理解DBSCAN的运作机制，首先需要掌握以下几个关键概念：

1. 核心点（Core Point）：

   • 如果一个数据点在其半径$ϵ$（Epsilon）范围内至少有$MinPts$（最小点数，包括自身）个点，则该点被称为核心点。
   • 数学定义：对于点$p$，如果$|N_{ϵ}(p)|\ge MinPts$，其中Nϵ(p)={ q∈D∣dist(p,q)≤ϵ}N_\epsilon(p) = \{ q \in D | \text{dist}(p, q) \leq \epsilon \}Nϵ​(p)={ q∈D∣dist(p,q)≤ϵ}是以$p$为中心、半径为$ϵ$的邻域，$D$是数据集。

2. 边界点（Border Point）：

   • 如果一个点在其半径$ϵ$范围内点的数量少于$MinPts$，但它位于某个核心点的$ϵ$邻域内，则该点被称为边界点。
   • 边界点不满足核心点的条件，但属于某个簇的边缘。

3. 噪声点（Noise Point）：

   • 既不是核心点也不是边界点的点，称为噪声点或异常点。这些点通常位于低密度区域，不属于任何簇。

4. 直接密度可达（Directly Density-Reachable）：

   • 如果点$q$在核心点$p$的$ϵ$邻域内（即$\text{dist}(p,q)\le ϵ$），且$p$是核心点，则$q$对$p$是直接密度可达的。

5. 密度可达（Density-Reachable）：

   • 如果存在一个点序列$p_1,p_2,\dots ,p_n$，其中$p_1=p$，$p_n=q$，且每个$p_{i+1}$对$p_i$是直接密度可达的，则$q$对$p$是密度可达的。

6. 密度连接（Density-Connected）：

   • 如果点$p$和$q$都对某个核心点$o$是密度可达的，则$p$和qq