AC自动机

一、AC自动机的背景与问题定义

1.1 问题描述

假设你有一个文本串 $T$（主串，长度为 $n$）和一组模式串 $P_1,P_2,\dots ,P_k$（总长度为 $m$），目标是在 $T$ 中找出所有模式串的出现位置。朴素的方法是对每个模式串单独运行KMP算法，时间复杂度为 $O(n\cdot k)$，当模式串数量 $k$ 很大时效率低下。

AC自动机的目标是解决多模式匹配问题，通过一次扫描文本串 $T$，在 $O(n+m)$ 的时间内完成所有模式串的匹配，其中：

• $m$ 是所有模式串的总长度（构建自动机的时间）。
• $n$ 是文本串的长度（匹配过程的时间）。

1.2 AC自动机的核心思想

AC自动机结合了：

• Trie树：将所有模式串存储在一个前缀树中，便于快速查找。
• KMP的失配指针：通过构建“失败指针”（failure link），在匹配失败时快速跳转到其他可能的匹配状态。
• 状态机：将匹配过程抽象为一个确定性有限自动机（DFA），每个状态表示当前匹配的前缀。

它的核心优势是一次扫描，多次匹配，避免了对每个模式串单独处理。

---

二、AC自动机的结构与原理

AC自动机由三部分组成：

1. Trie树：存储所有模式串。
2. 失败指针（Failure Link）：用于处理匹配失败时的跳转。
3. 输出集合（Output Link）：记录每个状态对应的模式串。

2.1 Trie树的构建

Trie树（前缀树）是AC自动机的基础，用于存储所有模式串。构建过程如下：

• 节点结构：每个节点包含：
  • 一个字符（或字符集索引）。
  • 子节点指针（通常用数组或哈希表表示，例如 children[c]）。
  • 是否为模式串的终点（标记为 is_end，记录模式串编号或直接标记）。
• 插入过程：
  1. 从根节点开始，对于模式串 $P_i=c_1{c}_2\dots c_l$，依次遍历每个字符 $c_j$.
  2. 如果当前节点的子节点中不存在字符 $c_j$，则新建一个节点。
  3. 移动到子节点，继续处理下一个字符。
  4. 在模式串的最后一个字符对应的节点，标记为终点（is_end = true 或记录模式串编号）。

时间复杂度：插入所有模式串的总时间为 $O(m)$，其中 $m$ 是所有模式串的总长度。

示例：
假设模式串为 {he, she, his, hers}，构建的Trie树如下：

       root
      / | \
     h  s  h
    / \    |
   e   i   h
      / \  |
     s   e r
         | |
         s

• 节点 he 和 she 的 e 是终点，标记模式串 he 和 she.
• 节点 his 的 s 是终点，标记模式串 his.
• 节点 hers 的 s 是终点，标记模式串 hers.

2.2 失败指针（Failure Link）

失败指针是AC自动机的核心，用于在匹配失败时快速跳转到其他可能的匹配状态。它的定义是：

• 对于Trie树中的一个节点 $u$，其失败指针 $fail(u)$ 指向另一个节点 $v$，使得 $v$ 表示的字符串是 $u$ 表示的字符串的最长后缀，且 $v$ 仍在Trie树中。
• 特殊情况：
  • 根节点的失败指针指向自身（或空）。
  • 深度为1的节点的失败指针指向根节点。

构建失败指针：
失败指针的构建通常通过**广度优先搜索（BFS）**完成，具体步骤如下：

1. 初始化：
   • 根节点的失败指针指向自身：$fail(root)=root$.
   • 根节点的直接子节点（深度为1）的失败指针指向根节点。
2. 使用队列进行BFS：
   • 按层序遍历Trie树的所有节点。
   • 对于当前节点 $u$，假设其对应的字符为 $c$，父节点为 $p$，我们需要计算 $fail(u)$.
   • 令 $v=fail(p)$，即父节点的失败指针。
   • 检查 $v$ 是否有子节点对应字符 $c$：
     • 如果有，则 $fail(u)=v\to children[c]$.
     • 如果没有，则继续令 $v=fail(v)$，重复检查，直到找到或到达根节点。
   • 如果最终到达根节点且没有找到，则 $fail(u)=root$.
3. 同时更新输出集合（稍后介绍）。

时间复杂度：BFS遍历所有节点，假设字符集大小为 σ\sigma