UVA10827 Maximum sum on a torus 枚举 + 二维前缀和

最新推荐文章于 2020-04-06 00:53:58 发布

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本文介绍了一种解决球面矩阵中寻找最大子矩阵和问题的方法。通过将矩阵拼接成更大矩阵来消除边界效应，并利用二维前缀和进行快速查询，最终达到O(n^2+n^4)的时间复杂度。

题目：https://cn.vjudge.net/problem/UVA-10827

题意：给一个大小不超过75*75的方阵，里面是-100到100的整数，让你求子矩阵里的元素和最大值。这个矩阵有一个特点，矩阵上下、左右是认为是相邻的，所以取可以取类似下图的子矩阵。
子矩阵举例

思路：这个球面矩阵的特殊性可以用一个简单的技巧的解决，将四个相同的方阵拼在一起就可以忽略它的特殊性。直接枚举复杂度高达O(n^6)，于是我们可以先预处理出二维前缀和，然后四层循环枚举子矩阵O(1)查询元素和，复杂度O(n^2 + n^4)

关于二维前缀和怎么预处理和查询可以看看这篇博客，思想和一维前缀和类似
https://www.cnblogs.com/OIerShawnZhou/p/7348088.html

代码：c++

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <queue>
#include <map>
#include <cstring>
#include <set>
#include <stack>
#include <cstdlib>
#include <bitset>
using namespace std;

const int maxn = 150 + 10;

int n;

long long a[maxn][maxn];
long long pre[maxn][maxn];

void init() 
{
    memset(pre, 0, sizeof(pre));
    for(int i = 1; i <= 2 * n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= 2 * n; j++)
        {
            pre[i][j] = pre[i - 1][j] + a[i][j];
        }
    }
    for(int i = 1; i <= 2 * n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= 2 * n; j++)
        {
            pre[i][j] += pre[i][j - 1];
        }
    }
}

inline long long getsum(int x, int y, int r, int c)
{
    return pre[x + r - 1][y + c - 1] - pre[x + r - 1][y - 1] - pre[x - 1][y + c - 1] + pre[x - 1][y - 1];
}

int main()
{
    int T;
    cin >> T;
    while (T--)
    {
        scanf("%d", &n);
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            for (int j = 1; j <= n; j++)
            {
                scanf("%lld", &a[i][j]);
                a[i + n][j] = a[i][j + n] = a[i + n][j + n] = a[i][j];
            }
        }
        init();
        long long ans = (long long)-1e15;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            for(int j = 1; j <= n; j++)
            {
                for(int r = 1; r <= n; r++)
                {
                    for(int c = 1; c <= n; c++)
                    {
                        ans = max(ans, getsum(i, j, r, c));
                    }
                }
            }
        }
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}