Maximum Value Problem FZU 2037 找规律 递推

题目：https://cn.vjudge.net/problem/FZU-2037

题意：给出一个序列，由1~n这n个数组成，给出一个最大值Max，初始化为零。问按照题目给出的代码求这个序列的最大值需要更新多少次Max，将这个值暂记为m。题目所求该序列的所有排列的m的总和summ，以及summ/该序列总排列个数。

举个例子：
n = 3时
序列{1, 2, 3} —— m = 3
序列{1, 3, 2} —— m = 2
序列{2, 1, 3} —— m = 2
序列{2, 3, 1} —— m = 2
序列{3, 1, 2} —— m = 1
序列{3, 2, 1} —— m = 1
summ = 11
summ / 排列数 = 11 / 6 = 1.833333

思路：
这题需要递推，从1推向n。
显然初始条件summ(1) = 1
从n-1推向n有两种情况
（1）n这个数放在原序列的最后，因为n就是最大的数，所以对于原序列每个m都要多更新一次，原序列一共有(n - 1)种排列
那么第一种情况summ1(n) = summ(n - 1) + 1 * (n - 1)!
（2）n这个数放在其他地方
n = 3，n-1 = 2时

1,2 = 2
2,1 = 1

3,1,2 = 1
1,3,2 = 2

3,2,1 = 1
2,3,1 = 2

n = 4，n-1 = 3时，如图

可以多写几组，注意观察，颜色相同的序列，它们的最后一位的数字都相同，它们每组的summ都为summ(n-1)，共有n-1组
那么第二种情况summ2(n) = summ(n - 1) * (n - 1)

综上，总递推式
summ(n)
= summ(n-1) + (n-1)! + summ(n-1)*(n-1)
= n*summ(n-1) + (n-1)!

那么第二个结果问题可以根据以上递推式除上个n!可以推出
ans2(n) = ans2(n-1) + 1.0 / ans2(n-1)

别忘了处理取模

代码：

//GNU C++上%lld会WA
//需用%I64d
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;

const int maxn = 1000000 + 10;
const long long MOD = 1000000007;

long long fact[maxn];
long long val[maxn];
double ans[maxn];

void init()
{
    fact[1] = 1;
    for(int i = 2;  i < maxn; i++)
    {
        fact[i] = fact[i - 1] * i % MOD;
    }
    val[1] = 1;
    for(int i = 2;  i < maxn; i++)
    {
        val[i] = i * val[i - 1] % MOD;
        val[i] += fact[i - 1];
        val[i] %= MOD;
    }
    ans[1] = 1;
    for(int i = 2; i < maxn; i++)
    {
        ans[i] = ans[i - 1] + 1.0 / i;
    }
}

int main()
{
    init();
    int cases = 1;
    int T;
    cin >> T;
    while(T--)
    {
        int n;
        scanf("%d", &n);
        printf("Case %d: %I64d %.6f\n", cases++, val[n], ans[n]);
    }
    return 0;
}