465二叉树分割最大差值(递归)

1、题目描述

给出一颗二叉树,每个节点有一个编号和个值,该值可能为负数,请你找出个最优节点(除根节点外),使得在该节点将树分成两棵树后(原来的树移除这个节点及其子节点,新的树以该节点为根节点),分成的两棵树各节点的和之间的差绝对值最大。请输出该节点编号,如有多个相同的差,输出编号最小的节点。

2、示例

输入:

4
4 9 -7 -8
0 1
0 3
1 2
第一行,四个节点,编号0-3,范围1-10000
第二行,节点0-3权值
第三行到第五行,表示二叉树各节点间的父子关系
0 1 节点0的左节点是1
0 3 节点0的右节点是3
1 2 节点1的左节点是2
注意:左节点永远出现在右节点之前

输出:

节点编号,示例中编号为3的节点是最优节点

3、题解

基本思想:递归,先递归求出每个节点的子树节点之和,然后遍历每个节点,求出diffvalue=abs(node.second.sum*2-sum)是否大于maxdiffvalue,如果是更新maxdiffvalue以及targetnode。

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<math.h>
using namespace std;
struct node{
    int num_child;
    int value;
    int sum;
    int child[2];
};
int sum=0;
map<int,node> node_map;
int caculate_sum(int root)
{
    int ret=node_map[root].value;
    for(int i=0;i<node_map[root].num_child;i++)
    {
        int x=caculate_sum(node_map[root].child[i]);
        ret+=x;
    }
    node_map[root].sum=ret;
    return ret;
}
int main()
{
    int n,root;
    vector<bool> isroot;
    cin>>n;
    isroot=vector<bool>(n,true);
    node tmp;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        int x;
        cin>>x;
        node_map[i].num_child=0;
        node_map[i].value=x;
        sum+=x;
    }
    for(int i=0;i<n-1;i++)
    {
        int fa,child;
        cin>>fa>>child;
        isroot[child]=false;
        node_map[fa].child[node_map[fa].num_child++]=child;
    }
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        if(isroot[i])
        {
            root=i;
            break;
        }
    }
    caculate_sum(root);
    int maxm=0;
    int index=0;
    for(auto &i:node_map)
    {
        int cha=2*i.second.sum-sum;
        if(maxm<abs(cha)){
            maxm=abs(cha);
            index=i.first;
        }
        else if(maxm==abs(cha)&&i.first<index)
        {
            index=i.first;
        }
    }
    cout<<index<<endl;
    return 0;
}

 

<think>好的,我现在需要帮助用户了解如何通过旋转的方式,按照顺序1,2,3,4,5,6,7构建平衡二叉树。首先,用户之前的询问是关于构造平衡二叉树的步骤,使用中间值递归分割的方法,现在用户可能想了解另一种方法,即通过插入并旋转来维持平衡,比如AVL树或红黑树的策略。 首先,我需要确认用户的问题意图。用户提到“使用旋转的方式按照1234567的顺序形成平衡二叉树”,这意味着他们希望逐个插入这些数字,并在每次插入后通过旋转来保持树的平衡,而不是像之前那样通过递归分割的方法。常见的自平衡树有AVL树和红黑树,这里可能需要以AVL树为例,因为AVL树主要通过旋转来维持平衡。 接下来,我需要回顾AVL树的插入和旋转机制。AVL树在插入节点后,会检查每个节点的平衡因子(左右子树高度差),如果绝对值超过1,则进行旋转操作。旋转分为四种情况:左左、左右、右右、右左,对应不同的旋转方式(右旋、左旋、左右旋、右左旋)。 用户给出的序列是1到7按顺序插入,也就是从小到大插入。这种情况下,如果直接插入而不平衡,树会退化为链表,高度为7,完全不平衡。因此,每次插入后都需要检查平衡并进行旋转。 我需要一步步模拟插入每个节点时的过程,并指出何时需要旋转以及旋转的类型。例如,插入1作为根节点,插入2作为右子节点,此时平衡。插入3时,由于2的右子树高度增加导致根节点1的平衡因子为-2(右子树高度差超过1),需要进行左旋,将2变为根节点,1作为左子,3作为右子。然后继续插入后续数字,并检查每个节点的平衡因子。 需要注意的是,每次插入后都要从插入节点向上回溯到根节点,检查每个祖先节点的平衡因子,直到找到第一个不平衡的节点进行调整。这可能涉及到多次旋转,但在这个具体例子中,由于插入顺序是递增的,可能每次插入都会导致最底部节点的不平衡,需要调整。 同时,需要确保解释清晰,步骤详细,让用户能够理解每个步骤中的旋转原因和操作结果。可能需要用图示或文字描述树的结构变化,但由于当前是文本形式,需要用层级结构或括号表示法来展示树的状态。 另外,用户可能对旋转的具体操作不太熟悉,需要简要解释每种旋转的操作方式,例如左旋和右旋的基本步骤,以及它们如何调整树的结构以恢复平衡。 最后,需要总结整个过程,并比较这种方法与之前递归分割方法的不同之处,指出旋转方式适用于动态插入的情况,而递归分割更适合静态数据的一次性构建。同时,可以提及其他自平衡树结构,如红黑树,但根据用户的问题,可能不需要展开,除非用户后续提问。 在思考过程中,还需验证每个步骤的正确性,例如插入节点后的平衡因子计算是否正确,旋转操作是否恰当,避免出现错误。例如,在插入3时,原来的树是1的右子树为2,再插入3作为2的右子节点,此时1的平衡因子为右子树高度2(左子树高度0,右子树高度2),差值为-2,需要左旋,旋转后2成为根节点,1作为左子,3作为右子,此时树平衡。 继续插入4时,作为3的右子节点,此时需要检查3的父节点2,以及祖父节点2的平衡因子。插入4后,3的右子树高度为1,2的右子树高度为2,而左子树高度为1(节点1),平衡因子为-1,仍然平衡。插入5时作为4的右子节点,此时检查4的父节点3,祖父节点2,根节点2的右子树高度增加,导致平衡因子可能超过限制。此时可能需要旋转,例如在节点3处右子树高度差为2,需要进行左旋,调整结构。 需要一步步跟踪每个插入后的平衡因子和旋转操作,确保过程准确。同时,可能需要考虑是否需要双旋转的情况,例如左右旋或右左旋,但在这个递增插入的情况下,可能主要是单旋转。 最后,总结形成的平衡二叉树结构,并指出虽然最终结构可能与递归分割方法不同,但依然保持平衡,高度较低,符合平衡二叉树的要求。</think>以下是按顺序插入 **1, 2, 3, 4, 5, 6, 7** 时,通过旋转操作(如AVL树的自平衡策略)逐步构造平衡二叉树的过程详解: --- ### **基本概念** - **平衡二叉树**(AVL树):在插入/删除节点后,若任意节点的左右子树高度差(平衡因子)绝对值超过1,则通过**旋转**调整树的结构以恢复平衡。 - **旋转类型**:单旋转(左旋、右旋)、双旋转(左右旋、右左旋)。 --- ### **具体步骤** #### **1. 插入 1** - 树为空,直接插入为根节点: ```text 1 (平衡因子=0) ``` --- #### **2. 插入 2** - 插入到 1 的右子树: ```text 1 \ 2 (平衡因子=0) ``` - 检查平衡性:根节点 1 的平衡因子 = 右子树高度(1) - 左子树高度(0) = **1**(仍平衡)。 --- #### **3. 插入 3** - 插入到 2 的右子树: ```text 1 \ 2 \ 3 ``` - **检查平衡性**: - 节点 2 的平衡因子 = 右子树高度(1) - 左子树高度(0) = 1(平衡)。 - 根节点 1 的平衡因子 = 右子树高度(2) - 左子树高度(0) = **2(不平衡)**。 - **调整操作**:对根节点 1 进行**左旋**,使 2 成为新根: ```text 2 / \ 1 3 ``` 此时所有节点平衡因子均为 0。 --- #### **4. 插入 4** - 插入到 3 的右子树: ```text 2 / \ 1 3 \ 4 ``` - **检查平衡性**: - 节点 3 的平衡因子 = 1(右子树高度1),节点 2 的平衡因子 = 右子树高度(2) - 左子树高度(1) = **1**(仍平衡)。 --- #### **5. 插入 5** - 插入到 4 的右子树: ```text 2 / \ 1 3 \ 4 \ 5 ``` - **检查平衡性**: - 节点 4 的平衡因子 = 1(右子树高度1)。 - 节点 3 的平衡因子 = 右子树高度(2) - 左子树高度(0) = **2(不平衡)**。 - **调整操作**:对节点 3 进行**左旋**,使 4 成为其父节点: ```text 2 / \ 1 4 / \ 3 5 ``` 此时节点 4 的平衡因子 = 0,整棵树恢复平衡。 --- #### **6. 插入 6** - 插入到 5 的右子树: ```text 2 / \ 1 4 / \ 3 5 \ 6 ``` - **检查平衡性**: - 节点 5 的平衡因子 = 1(右子树高度1)。 - 节点 4 的平衡因子 = 右子树高度(2) - 左子树高度(1) = 1(平衡)。 - 根节点 2 的平衡因子 = 右子树高度(3) - 左子树高度(1) = **2(不平衡)**。 - **调整操作**:对根节点 2 进行**左旋**,使 4 成为新根: ```text 4 / \ 2 5 / \ \ 1 3 6 ``` --- #### **7. 插入 7** - 插入到 6 的右子树: ```text 4 / \ 2 5 / \ \ 1 3 6 \ 7 ``` - **检查平衡性**: - 节点 6 的平衡因子 = 1(右子树高度1)。 - 节点 5 的平衡因子 = 右子树高度(2) - 左子树高度(0) = **2(不平衡)**。 - **调整操作**:对节点 5 进行**左旋**,使 6 成为其父节点: ```text 4 / \ 2 6 / \ / \ 1 3 5 7 ``` --- ### **最终平衡二叉树结构** ``` 4 / \ 2 6 / \ / \ 1 3 5 7 ``` - **平衡性验证**:所有节点的平衡因子绝对值 ≤ 1,树高为 3,满足平衡要求。 --- ### **关键点总结** - **动态平衡**:每次插入后通过旋转调整,适用于数据逐步插入的场景(如数据库索引)。 - **旋转策略**:根据失衡方向(左高或右高)选择单旋或双旋。 - **时间复杂度**:插入和旋转操作的时间复杂度为 $O(\log n)$,适合大规模数据。 --- ### **对比递归分割法** - **递归分割法**:直接选取中间值作为根,适用于数据已排序且一次性构建。 - **旋转法**:动态调整,更适合数据流式输入的场景。 如果有更多问题(例如双旋转的细节或红黑树的实现),欢迎进一步提问!
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