点或积分区域的对称性，积分结果的对称性

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原创最新推荐文章于 2026-08-03 12:28:42 发布 7.1k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

二重积分对称性证明 1.二重积分对称性证明 1.1.积分区域D关于坐标轴对称定理：如果积分区域D关于xxx轴对称，f(x,y)f(x,y)f(x,y)为yyy的奇偶函数，则二重积分 ∬Df(x,y)dxdy={0,f(x,−y)=−f(x,y)2∬D1f(x,y)dxdy,f(x,−y)=f(x,y) \iint_{D} f(x, y) d x d y=\left\{\begin{array}{ll} 0 & , f(x,-y)=-f(x, y) \\ 2 \iint_{D_{1}} f(x, y) d x d y, 阅读详情

总结就是绕谁对称谁不变(绕轴面对称的),轮换约束不变（轮换对称性的）

空间中位置对称的点

F（x,y）=0， F（x,y,z）=0所表示的曲线，曲面

f（x,y）， f（x,y,z）所表示的“密度函数”

在这里插入图片描述

$积分区域的对称性：x^2+y^2-4=0有(x,y)必有(-x,-y),(-x,y),(x,-y)$

F（x,y,z）=0所表示的曲面

面积分，三重积分积分区域的对称性

关于原点对称F（x,y,z）=F(-x,-y,-z)或F（x,y,z）=-F(-x,-y,-z)

关于X轴 F(x,y,z)=F(x,-y,-z)或F（x,y,z）=-F(x,-y,-z)

关于XOY F(x,y,z)=F(x,y,-z)或（x,y,z）=-F(x,y,-z)

f(x,y,z)=f(x,-y,z) (x,y,z)与(x,-y,z) 关于XOZ对称

积分区间的对称

$x + y + z = 0$
在这里插入图片描述
$x+y^2+z^2=0$

$y + z = 0$

$z^2=1$

$z = 0$

轮换对称性（轮换约束不变）

$积分区域：F(x,y,z)=0中的变量轮换不改变表达式(二重积分轮换对称性不需要考虑被积函数是否对称):\\ 如x+y+z=0,x^2 + y^2 +z^2-1=0\\ 对于二重积分：积分区域关于y=x对称(直观)，或D的约束轮换x，y不变$
若积分区间具有轮换对称性
$\iint_{∑} f(x,y,z)dS=\iint_{∑} f(y,z,x)dS=\iint_{∑} f(z,x,y)dS\\ \iint_{∑} f(x)dS=\iint_{∑} f(y)dS=\iint_{∑} f(z)dS（特殊情况）\\ \iint_{∑} f(x,y,z)dS=\frac{1}{3}\iint_{∑} f(z,x,y)+f(y,z,x)+f(z,x,y)dS(二重积分就是\frac{1}{2},注意应用是不同的\\，线面积分可代，重积分不可代，二重积分的应用见例题)\\$
对于第二类曲面积分要求轮换的顺序为x->y->z->x:
$条件：投影的二重积分的区域相同，定向的符号相同$
$\iint_{∑} f(x,y,z)dydz=\iint_{∑} f(y,z,x)dzdx=\iint_{∑} f(z,x,y)dxdy\\ \iint_{∑} f(x,y,z)dydz=\frac{1}{3}\iint_{∑} f(z,x,y)dydz+f(y,z,x)dzdx+f(z,x,y)dxdy$
注：轮换对称性如果考虑函数的对称性，其实也是“绕轴”对称性,(以二重积分为例)
$\iint_{D} f(x,y)dxdy=\begin{cases} 0& \text{f(x,y)=-f(y,x)}\\ 2 \iint_{D_1} f(x,y)dxdy=2 \iint_{D_1} f(y,x)dxdy & \text{f(x,y)=f(y,x)} \end{cases}$

例：

$∑是z=\sqrt{4-x^2-y^2}的上侧，求\iint_{∑} xydydz+xdzdx+x^2dxdy$
在这里插入图片描述

$令：∑_{1}是x=\sqrt{4-y^2-z^2}取前侧,∑_{2}是x=-\sqrt{4-y^2-z^2}取后侧\\ \iint_{∑} xydydz =2\iint_{∑_1} xydydz { \color{blue} 区域关于YOZ对称，是x的奇函数，由第二类曲面积分的对称性}\\ =2\iint_{∑_1} xydydz =2\iint_{∑_1} \sqrt{4-x^2-y^2}ydydz { \color{blue} 第二类曲面积分化为二重积分，一般地，都是这个形式}\\ { \color{blue} 第二类曲面积分的计算，一般地，因没学二重积分换元法，都是这个形式,参数形式f(x,y,z(x,y))dxdy}\\ =0 { \color{blue} 二重积分的对称性}\\ \iint_{∑} xdzdx=0\\ \iint_{∑} x^2dxdy= \iint_{x^2+y^2\leq 4 } x^2dxdy= = \frac{1}{2}\iint_{x^2+y^2\leq 4 } x^2+y^2dxdy{ \color{blue} 二重积分轮换对称性}\\ =\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}dθ\int_{0}^{2}r^3dr=4\pi\\$