bzoj 2822 [AHOI2012]树屋阶梯卡特兰数

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卡特兰数

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本文探讨了使用n块木板搭建n层阶梯的问题，通过数学推导得出了解决方案与卡特兰数的关系，并实现了一种高精度算法来求解该问题。

因为规定n层的阶梯只能用n块木板
那么就需要考虑，多出来的一块木板往哪里放
考虑往直角处放置新的木板
不管怎样，只有多的木板一直扩展到斜边表面，才会是合法的新状态，发现，这样之后，整个n层阶梯就被分成了i层和n-1-i层的阶梯，即

f (n) = \sum i = 0 n - 1 f (i) \times f (n - 1 - i)

$f(n)=\sum_{i=0}^{n-1}{f(i)\times f(n-1-i)}$
就是卡特兰数！！！，需要高精。。差评。。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define N 1050
using namespace std;
int n,prime[N],tot,id[N],num[N];
bool bo[N];
struct bignum{
    int len,a[500];
    bignum(){len=0;memset(a,0,sizeof a);}
    bignum operator = (int x){
        while(x){
            a[++len]=x%10;
            x/=10;
        }
        return *this;
    }
    bignum operator * (int x){
        bignum b; b.len=len;
        for(int i=1;i<=len;i++)
        {
            b.a[i]+=a[i]*x;
            b.a[i+1]+=b.a[i]/10;
            b.a[i]%=10;
        }
        while(b.a[b.len+1]){
            b.len++;
            b.a[b.len+1]=b.a[b.len]/10;
            b.a[b.len]%=10;
        }
        return b;
    }
}ans;
void print(bignum b){
    for(int i=b.len;i;i--){
        printf("%d",b.a[i]);
    }printf("\n");
}
void getprime(){
    for(int i=2;i<=2*n;i++){
        if(!bo[i]){
            prime[++tot]=i;
            id[i]=tot;
        }
        for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=2*n;j++){
            bo[i*prime[j]]=1; 
            id[i*prime[j]]=j;
            if(i%prime[j]==0)break;
        }
    }
}
void add(int x,int y){
    while(x!=1){
        num[id[x]]+=y;
        x/=prime[id[x]];
    }
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    getprime();
    for(int i=n+2;i<=2*n;i++)add(i,1);
    for(int i=1;i<=n;i++)add(i,-1);
    ans=1;
    for(int i=1;i<=tot;i++)
        while(num[i]--) ans=ans*prime[i];
    print(ans);
    return 0;
}