【BIT矩阵分析】第4章 矩阵分解

原创 于 2024-12-16 20:42:45 发布 · 1.4k 阅读 · 47 ·
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#矩阵 #线性代数

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文章有目录，标题里有⭐❗的重点看看，一定要懂哈！

本专栏内容基本涵盖考点，适用于 北京理工大学 研究生 矩阵分析课程，标⭐❗的看会基本能做计算题，足够及格，证明题主要分布在第3章和第5章。

这一章直接看后面的奇异值分解和谱分解，必考！建议结合学堂在线视频和后面B站博主的视频学！

满秩分解

基本不考，可以不用看

答案结果不唯一

步骤

  1. 初等行变换，换成行最简（最好化成只有阶梯处是1，同列其他行为0）

  2. 找到线性无关列，在原始矩阵中取出这几列，为B

  3. 计算C

  4. A=BC

例题：

正交三角分解

基本不考，可以不用看

UR分解

UR分解答案唯一

A(m*r)=UC

U是次酉矩阵

R是r阶 对角线元素为正的三角矩阵

UR分解例题

 

LU分解

LU分解例题

⭐奇异值分解

奇异值

奇异值即AAH 非零 特征值 开根号

注意下：下一章讲的谱范数就是最大的奇异值

奇异值分解

定义

求解步骤：

  1. 计算AAH特征值，得到奇异值

  2. 计算AAH的标准正交特征向量，组成V

  3. 计算AHA的标准正交特征向量，组成UH （如果A里有i，不能用这种方式） / 反推UH（A里有i，必须用反推的方法）

  4. 切记！正交+单位化

奇异值分解例题

以下这些例题都是比较麻烦的办法，建议看【行数较多/含有i的奇异值分解例题】那部分，比较常用。

例题2 

⭐行数较多/含有i的奇异值分解例题

求出U或V其中一个，用A=UΔV反推另一个

大部分时候都是求得U，然后在A=UΔV等式左右都乘上U-1、Δ-1，然后就得到V了。

如果出现U的列数不够，列方程解出和前面已有列正交的向量作为缺少的列，如下。

切记H运算需要将复数正负符号取反（共轭）

注意：关键在求正交

（一些引理）

⭐谱分解【先判断是否正规矩阵:AAH=AHA】

❗❗❗先判断是否正规矩阵:AAH=AHA

注意λ有0，0也要写到最后表达式

正规矩阵：

  1. 求λ及其特征向量

  2. 正交化单位化

  3. 写G

  4. 写表达式A=λG+....

其他矩阵：

  1. 求λ及其特征向量

  2. 特征向量组成P

  3. 求（P^-1）^T

  4. 写G

  5. 写表达式A=λG+....

正规矩阵 的 谱分解

即：AAH=AHA

需要单位化正交化

注意向量取的是H不是转置T，和下面的不同

可对角化矩阵/单纯矩阵 的 谱分解

除了正规矩阵以外的情况

不需要单位化

注意向量取的是转置T不是H，和上面的不同

步骤：

例题：

例题

❗复数域向量内积

如果上述正交化的变量有涉及到复数的，后面那个变量取共轭

可对角化

有n个两两互异特征值，或n个线性无关特征向量。

特征向量求法

步骤

  1. 找特征值

  2. 对每个特征值λ，代回λI-A

  3. 解方程（有几列就有几个未知数）

线性无关特征向量个数与秩的关系

对于n维矩阵A，其属于特征值λ的线性无关特征向量的个数为 n-r(A-λE) ，其中 r(A-λE) 表示矩阵 A-λE 的秩

普通特征向量个数和秩无关

❤️向量的内积 向量的模

感谢：

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