每日一题2023/1/16

[NOIP2001 普及组] 数的计算

题目描述

给出自然数 $n$，要求按如下方式构造数列：

1. 只有一个数字 $n$ 的数列是一个合法的数列。
2. 在一个合法的数列的末尾加入一个自然数，但是这个自然数不能超过该数列最后一项的一半，可以得到一个新的合法数列。

请你求出，一共有多少个合法的数列。两个合法数列 $a,b$ 不同当且仅当两数列长度不同或存在一个正整数 $i\le |a|$，使得 $a_i\ne b_i$。

输入格式

输入只有一行一个整数，表示 $n$。

输出格式

输出一行一个整数，表示合法的数列个数。

样例 #1

样例输入 #1

6

样例输出 #1

6

提示

样例 1 解释

满足条件的数列为：

• $6$
• $6,1$
• $6,2$
• $6,3$
• $6,2,1$
• $6,3,1$

数据规模与约定

对于全部的测试点，保证 $1\le n\le 10^3$。

说明

本题数据来源是 NOIP 2001 普及组第一题，但是原题的题面描述和数据不符，故对题面进行了修改，使之符合数据。原题面如下，谨供参考：

我们要求找出具有下列性质数的个数（包含输入的正整数 $n$）。

先输入一个正整数 $n$（$n\le 1000$），然后对此正整数按照如下方法进行处理：

1. 不作任何处理；
2. 在它的左边拼接一个正整数，但该正整数不能超过原数，或者是上一个被拼接的数的一半；
3. 加上数后，继续按此规则进行处理，直到不能再加正整数为止。

解决思路

这同样是一个递归算法的题（最近都会练习递归），一般思路从寻找递归关系式和终止条件入手
根据样例来看，6本身不做处理算一种，6后面可以加的数是1 ~ 6/2也就是1 ~ 3，然后分别再思考61,62,63后面又能加的数，这里递归的就不是某个f（n），而是一个范围，也就是1 ~ n/2，所以进递归的应该是自增变量i，也就是f（i），为了计算答案，我们需要一个全局变量ans用来做每一次调用f（i）的自增，因为进函数一次就说明后面跟了一个数，这本身就算是一种答案。所以有了以下的递归函数：

long long ans = 0;
void f(int n)
{
	ans++;
	for (int i = 1; i <= n / 2; i++)
		f(i);
}

但是这么做的话，会有一个超时的问题，也就是当n=1000的时候会TLE。
为了解决TLE的问题，这里就用到了“DFS记忆化搜索”的方法，在n很大的时候，会经常出现已经遇到过的f（i),我们开辟一个数组，就把已经计算过的i记忆下来，下次遇到的时候就直接跳过,这里重点不在DFS，重点掌握递归函数

int a[1001] = { 0 };
void f(int n)
{
	if (a[n] != 0) return;  //已经求过了的n就跳过
	a[n] = 1;  //6本身也算一种方法
	for (int i = 1; i <= n / 2; i++)
	{
		f(i);
		a[n] = a[n] + a[i];  //把每种情况累加起来
	}
}