从随机过程到马尔科夫蒙卡洛方法

最新推荐文章于 2025-02-06 09:46:56 发布

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转从随机过程到马尔科夫链蒙特卡洛方法

1. Introduction

第一次接触到 Markov Chain Monte Carlo (MCMC) 是在 theano 的 deep learning tutorial 里面讲解到的 RBM 用到了 Gibbs sampling，当时因为要赶着做项目，虽然一头雾水，但是也没没有时间仔细看。趁目前比较清闲，把 machine learning 里面的 sampling methods 理一理，发现内容还真不少，有些知识本人也是一知半解，所以这篇文章不可能面面俱到详细讲解所有的 sampling methods，而是着重讲一下这个号称二十世纪 top 10 之一的算法—— Markov chain Monte Carlo。在介绍 MCMC 之前，我们首先了解一下 MCMC 的 Motivation 和在它之前用到的方法。本人也是初学者，错误在所难免，欢迎一起交流。

这篇文章从零开始，应该都可以看懂，主要内容包括：

随机采样

拒绝采样

重要性采样

Metropolis-Hastings Algorithm

Gibbs Sampling

2. Sampling

我们知道，计算机本身是无法产生真正的随机数的，但是可以根据一定的算法产生伪随机数（pseudo-random numbers)。最古老最简单的莫过于 Linear congruential generator：

式子中的 a 和 c 是一些数学知识推导出的合适的常数。但是我们看到，这种算法产生的下一个随机数完全依赖现在的随机数的大小，而且当你的随机数序列足够大的时候，随机数将出现重复子序列的情况。当然，理论发展到今天，有很多更加先进的随机数产生算法出现，比如 python 数值运算库 numpy 用的是 Mersenne Twister 等。但是不管算法如何发展，这些都不是本质上的随机数，用冯诺依曼的一句话说就是：

Anyone who considers arithmetic methods of producing random digits is, of course, in a state of sin.

要检查一个序列是否是真正的随机序列，可以计算这个序列的 entropy 或者用压缩算法计算该序列的冗余。

OK，根据上面的算法现在我们有了均匀分布的随机数，但是如何产生满足其他分布（比如高斯分布）下的随机数呢？一种可选的简单的方法是 Inverse transform sampling，有时候也叫Smirnov transform。拿高斯分布举例子，它的原理是利用高斯分布的累积分布函数（CDF，cumulative distribution function）来处理。

假如在 y 轴上产生（0,1）之间的均匀分布的随机数，水平向右投影到高斯累计分布函数上，然后垂直向下投影到 x 轴，得到的就是高斯分布。可见高斯分布的随机数实际就是均匀分布随机数在高斯分布的 CDF 函数下的逆映射。当然，在实际操作中，更有效的计算方法有 Box–Muller_transform (an efficient polar form)，Ziggurat algorithm 等，这些方法 tricky and faster，没有深入了解，这里也不多说了。

3. Motivation

MCMC 可解决高维空间里的积分和优化问题：

上面一个例子简单讲了利用高斯分布的 CDF 可以产生高斯随机数，但是有时候我们遇到一些分布的 CDF 计算不出来（无法用公式表示），随机数如何产生？

遇到某些无法直接求积分的函数，如 e^{x^2}，在计算机里面如何求积分？

如何对一个分布进行高效快速的模拟，以便于抽样？

如何在可行域很