多因子归检验中的NeweyWest调整

转 多因子回归检验中的 Newey-West 调整

作者：石川，量信投资创始合伙人，清华大学学士、硕士，麻省理工学院博士；精通各种概率模型和统计方法，擅长不确定性随机系统的建模及优化。知乎专栏：https://zhuanlan.zhihu.com/mitcshi。未经授权，严禁转载。

摘要：Newey-West 调整是计量经济学中的经典方法，在多因子模型回归分析中无处不在。本文介绍它的用法。

1、引言

本文有很多数学公式。

本文的推导重点参考了 William Greene 的经典教材 Econometric Analysis（Greene 2003，我用的第五版，最新的出到了第八版）。

本文回答了一个曾让我纠结很久的问题。

在学术界关于 empirical asset pricing 的论文中，portfolio test 和 regression test 是检验一个新因子是否有效的两个常见手段。在前者中，使用已有因子的收益率作为 regressors、使用基于新因子构建的投资组合的收益率作为被解释变量，进行时序回归，从而检验新因子组合是否可以获得超额收益 α、以及它在已有因子上的 β。在后者中，新因子和已有因子一起被用来和个股收益率进行截面回归（通常使用 Fama-MacBeth regression），然后考察新因子的预期收益率 E[f] 是否显著不为零。

无论是上面哪种方法，学者们都会对回归分析得到的 α、β 以及 E[f] 给出 t-statistic 从而检验它们的显著性。而在学术论文所报告的结果中，经常出现诸如“Newey and West adjusted t-statistic”或者“Newey and West adjusted standard error”（standard error 是用来计算 t-statistic 的）这样的描述。这不禁让人疑问：回归检验中的 Newey and West 调整到底是什么？

除了要搞懂它到底是什么之外，我们也关心它是如何实操的，这样才能将它用在 A 股的实证研究中。这就是本文关心的话题。本文的内容提要如下：

第二、三节介绍必要的数学背景，解释 Newey-West 调整的重要性。

第四节针对 A 股进行 portfolio test 的实证研究，指出考虑 Newey-West 调整后 α 和 β 的显著性的变化。

第五节说明通过 Fama-MacBeth regression 求解因子预期收益率 E[f] 中的 Newey-West 调整是一种简化版。

第六节总结本文，并评论一下 Barra 在计算协方差矩阵中的 Newey-West 调整。

让我们从广义线性回归说起。

2、广义线性回归

考虑如下广义线性回归模型（generalized linear regression model）：

上述模型是时序上的线性回归模型；其中 y 是 T × 1 阶向量（T 代表时序的总期数）；X 是 T × K 阶矩矩阵（其中 K 是 regressors 的个数）；ε 是 T × 1 阶残差向量；Σ（T × T 阶）是残差的协方差矩阵。回归的目的是为了得到回归系数 β（K × 1 阶矩阵）并检验它们的显著性。

上述模型和经典线性回归模型最大的区别是矩阵 Ω 的引入。在经典模型中假设给定解释变量 X 下，不同时刻 t 的残差是独立且同方差，因此 Ω 是单位阵 I。

在广义线性回归中，残差独立、同方差这两个假设均可被打破，从而得到两个残差中常见的特性：异方差（heteroscedasticity）和自相关（autocorrelation）。多因子模型回归中的残差就经常呈现上述两种特性。在广义线性回归模型中引入 Ω 正是为了反映上述特性。以下是两个例子。

对于异方差（但仍可以假设独立），通常有：

对于自相关（但同方差），通常有：

当然我们也可以既考虑异方差又考虑自相关性。在一般情况下 Ω 矩阵中第 i 行、第 j 列的元素用 ω_{ij} 表示。

如果 Ω 已知，则通常使用 generalized least squares 来对 β 进行参数估计。但当 Ω 未知时，OLS 往往是首选。对该广义线性回归模型进行 OLS 求解就可以得到 β 的 OLS 估计，记为 b：