P1157 组合的输出

这篇博客介绍了如何使用递归算法输出从n个元素中取出r个元素的所有组合,给出了C++代码实现,并展示了输入输出样例。递归在数学问题求解中展现出其优雅和效率。

题目描述

排列与组合是常用的数学方法,其中组合就是从n个元素中抽出r个元素(不分顺序),我们可以简单地将nn个元素理解为自然数1,2,…,n,从中任取r个数。

现要求你输出所有组合。

输入格式

一行两个自然数n,r(1<n<21),(0≤r≤n)。

输出格式

所有的组合,每一个组合占一行且其中的元素按由小到大的顺序排列,每个元素占三个字符的位置,所有的组合也按字典顺序。

输入输出样例

输入 #1

5 3 

输出 #1

  1  2  3
  1  2  4
  1  2  5
  1  3  4
  1  3  5
  1  4  5
  2  3  4
  2  3  5
  2  4  5
  3  4  5
/*
 * @Description: To iterate is human, to recurse divine.
 * @Autor: Recursion
 * @Date: 2022-03-14 12:55:31
 * @LastEditTime: 2022-03-14 19:16:56
 */
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,r;
int a[(int)1e6+10];
bool b[(int)1e6+10];

void dfs(int x)
{
    if(x==r+1){
        for(int i=1;i<=r;i++)
            cout<<setw(3)<<a[i];
        cout<<endl;
        return;
    }
    for(int i=a[x-1]+1;i<=n;i++){
        a[x]=i;
        dfs(x+1);
    }
}

int main()
{
    cin>>n>>r;
    dfs(1);
}

<think>好的,我需要回答用户关于DFS算法在问题P1157上的组合输出实现的问题。首先,我需要理解P1157的具体要求。根据用户提供的引用[1],题目是“组合输出”,要求输出所有可能的组合,例如示例中的1 2 3等。这应该是一个组合生成问题,即从n个数中选r个的所有组合,按字典序输出。 接下来,用户提到DFS算法,所以需要解释如何用深度优先搜索来解决这个问题。DFS通常用于遍历或搜索树形结构,这里可以将每个组合的生成视为树的分支。例如,从第一个数开始,逐步选择下一个数,确保不重复且顺序递增,以避免重复组合。 然后,我需要参考提供的引用内容。引用[1]中的解题思路提到了暴力枚举和DFS,说明DFS在这里是关键。需要详细说明DFS的步骤,比如递归终止条件(当已选数的数量等于r时)、如何避免重复(例如保持升序选择)以及如何剪枝(提前终止不可能的分支)。 还要考虑代码实现部分。用户可能需要一个示例代码,比如Python的DFS实现。代码需要包括参数传递,比如当前路径、起始位置等。同时,要确保生成的组合是按字典序排列的,这可以通过在每一步选择比当前最后一个数大的数来实现。 另外,用户提供的引用[2]虽然主要关于过滤组合字符串,但其中也涉及DFS的应用,可能在处理组合时需要考虑某些限制条件,比如屏蔽字符串。不过P1157可能不需要这样的过滤,但可以提一下DFS的灵活性,比如在生成组合时添加条件判断。 最后,生成相关问题需要考虑用户可能的后续疑问,比如如何优化DFS、处理重复元素或不同输出格式的问题。需要确保这些问题与DFS和组合生成相关,帮助用户深入理解。</think>### DFS算法在P1157组合输出的实现思路 #### 问题描述 P1157要求从$n$个数字中选取$r$个,按字典序输出所有组合。例如,当$n=5$且$r=3$时,输出所有$C(5,3)=10$种组合,如: ``` 1 2 3 1 2 4 ... 3 4 5 ``` #### DFS实现核心思路 1. **状态定义** - 当前已选数字的路径`path`(列表存储) - 起始搜索位置`start`(保证组合按升序排列,避免重复) 2. **递归终止条件** 当`path`长度等于$r$时,输出结果并返回。 3. **剪枝优化** 若剩余未选数字数量不足以填满剩余位置,提前终止分支。例如:当需要选$k$个数字,但剩余数字数量$n-i+1 < k$时,无需继续搜索[^1]。 #### Python代码实现 ```python def dfs(n, r): result = [] def backtrack(start, path): if len(path) == r: result.append(path.copy()) return # 剪枝:剩余数字数量必须 >= 剩余需要选的数字数量 remaining = r - len(path) for i in range(start, n + 1): if (n - i + 1) < remaining: # 剪枝判断 break path.append(i) backtrack(i + 1, path) # 下一层从i+1开始,避免重复 path.pop() backtrack(1, []) return result # 示例:n=5, r=3 for combo in dfs(5,3): print(' '.join(map(str,combo))) ``` #### 关键点说明 1. **避免重复**:通过`start`参数确保每次选择数字的起始位置递增,例如当前选到3时,下一层只能从4开始选择。 2. **剪枝优化**:`if (n - i + 1) < remaining`提前终止不可能满足条件的分支,减少递归次数。 3. **时间复杂度**:$O(C(n,r))$,即组合数的数量级,已通过剪枝达到最优复杂度[^1]。
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