基于Python实现Aitken迭代法和牛顿迭代法

对于非线性方程，我们可以使用迭代的方式求出近似解。下面介绍两种比较经典的算法：简单迭代法、牛顿法

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简单迭代法

对于待求解方程，先把方程写成 $f(x)=0$ 的形式，然后改成如下同解形式：
$$x=\phi (x)$$选一个初始值 $x_0$，然后做迭代：
$$x_{k+1}=\phi (x_k),k=1,2,3,\dots$$如果迭代序列 { x k } \{x_k\} { xk​} 收敛于真解，则称简单迭代法使收敛的。

简单迭代法的收敛条件

根据压缩映射原理，如果 $\phi (x)$ 为定义域上的压缩映射，则 $\phi (x)$ 在定义域上有唯一的不动点，且对于任何初值，由迭代格式 $x_{k+1}=\phi (x_k)$ 产生的迭代序列 { x k } \{x_k\} { xk​} 收敛于该不动点。

另外我们还常常讨论简单迭代法的局部收敛性，感兴趣的同学查阅相关书籍，此处不再赘述。

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简单迭代法的Aitken加速算法

假设 $\phi (x)$ 在 $\alpha$ 处可导，有
$$\begin{gathered} x_{k+1}-\alpha ={\phi }^{\prime }({\xi }_1)(x_k-\alpha ) \\ {x}_{k+2}-\alpha ={\phi }^{\prime }({\xi }_2)(x_{k+1}-\alpha ) \end{gathered}$$假设${\phi }^{\prime }({\xi }_1)\approx {\phi }^{\prime }({\xi }_{}$