层次分析法

最新推荐文章于 2022-07-05 21:07:48 发布

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#算法 #matlab #数学建模

ACE-Step

音乐合成

ACE-Step

ACE-Step是由中国团队阶跃星辰（StepFun）与ACE Studio联手打造的开源音乐生成模型。它拥有3.5B参数量，支持快速高质量生成、强可控性和易于拓展的特点。最厉害的是，它可以生成多种语言的歌曲，包括但不限于中文、英文、日文等19种语言

层次分析法（AHP）

层次分析法（The analytic hierarchy process），主要用于解决数学建模中评价类问题。

评价类问题是数学建模中较为常见的一类问题，解决这一类问题的途径有很多，但我认为最简单而又高效的方式是以“评分”来解决。

但是评分的标准是什么呢？又该以怎样的方式评分？这就引申出了这一关键算法——层次分析法。

层次分析法的步骤：

Step 1：分析系统中各因素之间的关系，建立系统的“递阶层次结构”

逻辑图演示
这里需要说明的是，不同问题中，对于某一方案，对于决定的它的影响因素的个数可能是不一样的。

例如上图，影响方案1的因素有因素1,2，3…，但是影响方案2的因素只有因素1,3…，以此类推。

但是解决办法的核心思想是一致的，不一样只是最后求“总得分”的方式。

Step 2：对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性，进行两两比较，构造“判断矩阵”

在这一步骤中，我们需要思考，如何确定“对于同一层次的各元素”关于“上一层次中某一准则”的重要性，这里就要引入标度的概念。

“分而治之”的思想

问题：一次性考虑N个指标之间的关系，往往考虑不周
解决方法：每两个指标进行比较，最终根据两两比较的结果推算最终权重
标度图
进行全部的比较之后，便可以得到这样一个矩阵：

我们称这样的矩阵为判断矩阵，不难看出，这是一个“n×n”的方阵，记为A，对应元素为a_ij。

判断矩阵的特点：

1、a_ij表示的意义是，与j指标相比，i的重要程度；
2、当i=j时，两个指标相同，因而一样重要，记为1；
3、a_ij＞0且满足a_ij×a_ji＝1。

Matlab中的代码实现：

%判断矩阵
%判断一个矩阵是否为判断矩阵 正互反矩阵

a=0;   %初始化矩阵的行数
b=0;   %初始化矩阵的列数
a=input('请输入矩阵的行数:');
b=input('请输入矩阵的列数:');

if(a ~= b)
        disp('不是判断矩阵！');
else
        %初始化判断矩阵
        c=zeros(a,b);
        c=input('请依次输入矩阵的元素:');
       
        k=0;
        for i=1:a
            for j=1:a
                if(c(i,j) ~= c(j,i))
                    k=1;
                end
            end
        end  
        
        if(k==0)
            disp('是判断矩阵！');
        else
            disp('不是判断矩阵！');
        end   
end

Step 3：根据判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验（一致性检验合格后，所求权重才可使用）

这里我们先引入一致矩阵的概念：
若判断矩阵满足a_ij×a_jk=a_ik，则我们称其为“一致矩阵”。

例如：
非一致矩阵

可以发现，一致矩阵的每一行（列）的元素成比例。
（在实际的数学建模中，我们往往是以此来判断是否为“一致矩阵”）。

Matlab中的代码实现：

%一致矩阵
%判断一个“判断矩阵”是否为“一致矩阵”

a=0;
a=input('请输入判断矩阵的阶数：');

b=zeros(a,a);
b=input('请依次输入判断矩阵的每个元素：');

%判断变量 设定初始值为0
c=0;

% Step1 a(ij)>0
for i=1:a
    for j=1:a
        if(b(i,j) <= 0)
            c=1;
        end
    end
end

% Step2 a(11)=a(22)=...a(nn)=1
for i=1:a
    if(b(a,a) ~= 1)
        c=1;
    end
end

% Step3 [a(i1),a(i2)...a(in)]=k[a(11),a(22)...a(nn)]
for i=1:(a-2)
    d=b(i,1)/b(i+1,1);
    e=b(i+1,1)/b(i+2,1);
    if(d ~= e)
        c=1;
    end
end

if(c==0)
    disp('该判断矩阵为一致矩阵！');
else
    disp('该判断矩阵不是一致矩阵！');
end

一致性检验的步骤：

一致性检验步骤

注：

1、λ_max是判断矩阵的最大特征值；

2、n是判断矩阵的迹；

Matlab中的代码实现：

%一致性检验
%一致矩阵为方阵“ 且r（A）=1” “ A有一个特征值为tr（A）” “ 其余全为0”

%前提准备
a=0;
a=input('请输入判断矩阵的阶数：');

b=zeros(a,a);
b=input('请输入判断矩阵的各个元素：');

% 计算判断矩阵的最大特征值
[x,y]=eig(b);
z=diag(y);
m=max(z);

%计算矩阵的迹 即tr（A） 函数trace(A)
t=trace(b);


%正式步骤 

%Step1 计算“一致性指标 CI”
CI=(m-t)/(t-1);

%Step2 查找对应的“平均随机一致性指标RI”
if t==1
    RI=0;
    
elseif t==2
    RI=0;
    
elseif t==3
    RI=0.52;
    
elseif t==4
    RI=0.89;
    
elseif t==5
    RI=1.12;
    
elseif t==6
    RI=1.26;
    
elseif t==7
    RI=1.36;
    
elseif t==8
    RI=1.41;
    
elseif t==9
    RI=1.46;
    
elseif t==10
    RI=1.49;
    
elseif t==11
    RI=1.52;
    
elseif t==12
    RI=1.54;
    
elseif t==13
    RI=1.56;
    
elseif t==14
    RI=1.58;
    
elseif t==15
    RI=1.59;
end

%Step3 计算一致性比例“CR” CR=CI/RI
CR=CI/RI;


if(CR<0.1)
    disp('一致性比例CR：');
    disp(CR);
    disp('一致性可以接受');
else
    disp('一致性比例CR：'); 
    disp(CR);
    disp('判断矩阵偏差过大，需要修改！');
end

如果判断矩阵的CR偏大，该如何修改呢？

答：根据“一致矩阵”的定义，修改个别数据。

计算“一致矩阵”中的权重：

例如：
一致矩阵中的计算权重
Matlab中的代码实现：

%计算一致矩阵的权重
%进行归一化处理便可实现

a=0;
a=input('请输入一致矩阵的阶数：');

b=zeros(a,a);
b=input('请输入一致矩阵的各个元素：');

%原则上任何一行/列都可以实现
%我这里用第一列
s=0;
for i=1:a
    s=s+b(i,1);
end

for i=1:a
    c(i)=b(i,1)/s;
end

计算“判断矩阵”中的权重：

这里以这样的一个矩阵为例子：
判断矩阵

方法1：算术平均法

Step1. 将判断矩阵按照列（行）进行归一化（每一个元素除以其所在列（行）的和）；

Step2. 将归一化的各列相加（按行求和）；

Step3. 将相加后得到的向量中每个元素除以n即可以得到权重。

例如：
方法1
Matlab中的代码实现：

%计算判断矩阵的权重

%第一种方法 “算术平均法求权重”

%分别根据第1-n列/行的权重，求平均值。

a=0;
a=input('请输入判断矩阵的阶数：');

b=zeros(a,a);
b=input('请输入判断矩阵的各个元素：');

%Step1 计算每一列的总和
for i=1:a
    c(i)=0;
    for j=1:a
        c(i)=c(i)+b(j,i);
    end
end

%Step2 计算每一列的权重
for i=1:a
    for j=1:a
        d(j,i)=b(j,i)/c(i);
    end
end

%Step3 计算算术平均权重
for i=1:a
    e(i)=0;
    for j=1:a
        e(i)=e(i)+d(i,j);
    end
    f(i)=e(i)/a;
end

方法2：几何平均法

Step1. 将判断矩阵的元素按照行相乘得到一个新的列向量；

Step2. 将新的向量每个分量开n次方；

Step3. 对该列向量进行归一化即可得到权重向量。

例如：
方法2
Matlab中的代码实现：

%计算判断矩阵的权重

%第二种方法 几何平均法求权重

a=0;
a=input('请输入判断矩阵的阶数：');

b=zeros(a,a);
b=input('请输入判断矩阵的各个元素：');

%Step1 将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
for i=1:a
    c(i)=1;
    for j=1:a
        c(i)=b(i,j)*c(i);
    end
end

%Step2 将新的列向量的每个分量开n次方 (n为A的阶数）
for i=1:a
    c(i)=power(c(i),1/a);
end

%Step3 进行归一化处理
s=0;
for i=1:a
    s=c(i)+s;
end

for i=1:a
    d(i)=c(i)/s;
end

方法3：特征值法

Step1. 求出判断矩阵的特征向量；

Step2. 对求出的特征向量进行归一化处理即可得到权重向量。

例如：
方法3
Matlab中的代码实现：

%计算判断矩阵的权重

%第三种方法 特征值法求权重（使用最多）

a=0;
a=input('请输入判断矩阵的阶数：');

b=zeros(a,a);
b=input('请输入判断矩阵的各个元素：');

%Step1 求出A对应的特征向量
[x,y]=eig(b);
%x为对应的特征向量 y为对应的特征值

%Step2 对求出的特征向量进行归一化处理
s=0;
for i=1:a
   s=s+x(i);
end

for i=1:a
    t(i)=x(i)/s;
end