树的重心——DFS求解

树的重心,又称质心,是指一棵无根树中,当其变为有根树时,能使得最大子树节点数最小的点。删除这个点后,最大连通块的节点数最小。树的重心可以通过DFS在O(N)的时间复杂度内求得。在加入或移除节点时,树的重心最多移动一条边的位置。在给定的例题Balancing Act POJ - 1655中,要求求出树的重心及删除重心后的最大连通块节点数。

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定义:

树的重心也叫树的质心。对于一棵树n个节点的无根树,找到一个点,使得把树变成以该点为根的有根树时,最大子树的结点数最小。换句话说,删除这个点后最大连通块(一定是树)的结点数最小



性质:

  1. 树中所有点到某个点的距离和中,到重心的距离和是最小的,如果有两个距离和,他们的距离和一样。
  2. 把两棵树通过一条边相连,新的树的重心在原来两棵树重心的连线上。
  3. 一棵树添加或者删除一个节点,树的重心最多只移动一条边的位置。
  4. 一棵树最多有两个重心,且相邻


重心的求法

删除重心后最大连通块的结点数最小,那么就要对每个结点,以其为根,找出其所有子树的最大结点数,然后找出 子树最大结点数最小的那个结点即是重心

那么怎么一次DFS在O(N)的时间就找出重心呢?

随意选择一个根结点,进行DFS,对于 某个结点u ,每次向下遍历,可以得出 u向下遍历的各个子树的结点数 ,但是如果以u作为根结点话,还有 一颗向上遍历的子树结点数 没有考虑,但是可以发现 这棵向上遍历的子树的结点数= N - 向下遍历的各子树结点数之和 -1


具体实现:

int min_balance=INF;   //删除重心后最大连通块的数量
int min_node;          //重心
int dfs(int u)     //dfs每次返回以u为根的子树的结点数量
{
   
   
    vis[u]=true;
    int sum=0;     //向下遍历的各子树结点数之和
    int max_subtree=0;   //最大子树结点数
    for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next)   //向下遍历
    {
   
   
    	int v=e[i].v;
        if(vis[v])
            continue;
        int t=dfs(v);   //得到以v为根结点的子树的结点数
        
DFS(深度优先搜索)可以用于解决迷宫出口问题。 首先,我们需要将迷宫转化为图,其中每个房间是图中的一个节点,每个房间之间的通道是图中的一条边。我们可以用一个二维数组来表示迷宫,其中0表示墙,1表示通道。 然后,我们可以使用DFS来搜索迷宫。我们从起点开始探索,每次选择一个未被访问的相邻节点进行探索,直到找到出口为止。为了避免陷入死循环,我们需要记录已经访问过的节点。 具体实现可以使用递归或者栈来实现DFS,以下是一个使用递归的示例代码(假设起点为(0,0),出口为(n-1,m-1)): ```python def dfs(x, y, visited, maze): # 判断当前节点是否为出口 if x == len(maze)-1 and y == len(maze[0])-1: return True # 标记当前节点已被访问 visited[x][y] = True # 搜索相邻节点 for dx, dy in [(0,1), (0,-1), (1,0), (-1,0)]: nx, ny = x+dx, y+dy # 判断相邻节点是否合法 if 0 <= nx < len(maze) and 0 <= ny < len(maze[0]) and maze[nx][ny] == 1 and not visited[nx][ny]: # 递归搜索相邻节点 if dfs(nx, ny, visited, maze): return True return False # 测试 maze = [ [1, 0, 1, 1, 1], [1, 0, 1, 0, 1], [1, 0, 1, 0, 1], [1, 1, 1, 0, 1], [0, 0, 0, 0, 1] ] visited = [[False for _ in range(len(maze[0]))] for _ in range(len(maze))] print(dfs(0, 0, visited, maze)) # 输出True,表示存在从起点到出口的路径 ``` 这段代码中,dfs函数的参数分别表示当前搜索的节点坐标、已经访问过的节点、迷宫的二维数组。搜索过程中,我们先判断当前节点是否为出口,如果是,则返回True。然后标记当前节点已被访问,并搜索相邻节点,如果找到了一个相邻节点可以到达出口,则返回True。否则,返回False表示无法到达出口。
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