动态规划--(加法表达式)

本文探讨如何在1到9的数字串中插入m个加号,形成加法表达式,并找到使表达式值最小的方法。通过动态规划,定义状态V(m,n)表示n个数字中插入m个加号的最小值。当m为0时,V(m,n)即为数字串的值;若n小于m+1,则V(m,n)为无穷大。对于一般情况,V(m,n)可以通过比较V(m-1,i) + Num(i+1,n) (i=m...n-1)的最小值来计算,其中Num(i,j)表示从i到j的数字组合成的数。" 127313542,15314106,SpringBoot+Mybatis实现增删改查(CRUD)教程,"['SpringBoot', 'mybatis', 'java']

描述:

有一个由1..9组成的数字串.问如果将m个加号插入到这个数字串中,在各种可能形成的表达式中,值最小的那个表达式的值是多少。

输入:
5 3
1 2 3 4 5
输出:

### 使用动态规划解决最优加法表达式 #### 题描述 给定一系列整数和运算符(仅限`+`),目标是找到一种括号化方案,使得整个表达式的值最大。 #### 动态规划的核心概念 为了有效解决题,需确认两个重要特性:重叠子题和最优子结构[^1]。对于最优加法表达式而言,任何一段连续的子序列都可以视为一个更小子题的一部分,这满足了上述条件。 #### 设计DP表格 定义二维数组 `dp[i][j]` 表示从第 i 到 j 的数字之间所能获得的最大可能结果。这里假设输入是一个由数值组成的列表 nums 和相应位置的操作符 ops[] (ops 数组长度比 nums 小一)[^3]。 #### 初始化边界情况 由于只涉及加法操作,在最简单的情况下即单个元素时,`dp[i][i]=nums[i]` 成立;而对于相邻两项,则直接相以获取初始状态下的 dp 值。 #### 推导递推关系 考虑任意区间 `[i, j]` 上的结果可以表示为: \[ \text{max}(dp[i][k]+dp[k+1][j])\quad k=i,\ldots,j-1 \] 这意味着要尝试所有可行分割点 k 来最大化总和,并据此更新当前区间的最佳解。注意这里的号对应题目限定使用的唯一算术运算符——加法[^2]。 #### 遍历顺序 按照逐渐增范围的方式填充 DP 表格,具体来说是从较短距离逐步扩展至较长的距离,从而保证每次计算新项之前所需依赖的数据都已经被处理完毕。 #### Python代码实现 ```python def max_sum_expression(nums): n = len(nums) # 创建并初始化dp表 dp = [[0]*n for _ in range(n)] for i in range(n): dp[i][i] = nums[i] # 计算同跨度上的最大值 for length in range(2, n + 1): for start in range(n - length + 1): end = start + length - 1 # 寻找最佳划分点 best_split = float('-inf') for mid in range(start, end): current_value = dp[start][mid] + dp[mid + 1][end] if current_value > best_split: best_split = current_value dp[start][end] = best_split return dp[0][-1] # 测试案例 print(max_sum_expression([1, 2, 3])) # 输出应为6 ```
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