第八届传智杯省赛第一场题解

第八届传智杯省赛第一场题解

第一题：

**【回忆题目】**已知3 张一星卡可以合成 1 张二星卡。现在给定你拥有的一星卡数量 n，请计算 最多可以合成多少张二星卡。

代码实现

C语言

#include <stdio.h>

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);

    int ans = n / 3;
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

Python

def solve():
    n = int(input())
    
    ans = n // 3
    print(ans)


if __name__ == "__main__":
    solve()

第二题：

**【回忆题目】**Alice 和 Bob 正在进行一场打牌游戏。Alice 初始拥有 (n) 张牌，Bob 初始拥有 (m) 张牌

游戏规则：

1. 每回合，Alice 和 Bob 各从自己牌堆最上方出一张牌；

2. 点数大的玩家收回自己出的牌，并按出牌顺序放到自己牌堆最下方；

3. 若点数相等，两张牌丢弃；

4. 当任一玩家没有牌时，游戏结束，还有牌的玩家获胜。

• Alice 获胜 → 输出 Alice，Bob 获胜 → 输出 Bob，双方同时没牌 → 输出 Draw

代码实现

C语言

#include <stdio.h>

int main() {
    int alice[2000], bob[2000];
    int n, m;
    scanf("%d", &n);
    scanf("%d", &m);
    for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d", &alice[i]);
    for(int i=0;i<m;i++) scanf("%d", &bob[i]);

    int af=0, ar=n; // Alice front/rear
    int bf=0, br=m; // Bob front/rear

    while(af < ar && bf < br){
        int a = alice[af++];
        int b = bob[bf++];

        if(a > b){
            alice[ar++] = a; // 只收回自己的牌
        } else if(b > a){
            bob[br++] = b; // 只收回自己的牌
        }
        // a == b 时，丢弃
    }

    if(af < ar && bf >= br) printf("Alice\n");
    else if(bf < br && af >= ar) printf("Bob\n");
    else printf("Draw\n");

    return 0;
}

Python

def play_game(alice_cards, bob_cards):
    n, m = len(alice_cards), len(bob_cards)
    # front 和 rear 指针
    alice_front, alice_rear = 0, n
    bob_front, bob_rear = 0, m

    while alice_front < alice_rear and bob_front < bob_rear:
        a = alice_cards[alice_front]
        b = bob_cards[bob_front]
        alice_front += 1
        bob_front += 1

        if a > b:
            alice_cards.append(a)
            alice_rear += 1
        elif b > a:
            bob_cards.append(b)
            bob_rear += 1
        # a == b 时，丢弃两张牌

    if alice_front < alice_rear and bob_front >= bob_rear:
        return "Alice"
    elif bob_front < bob_rear and alice_front >= alice_rear:
        return "Bob"
    else:
        return "Draw"

if __name__ == "__main__":
    n, m = map(int, input().split())
    alice_cards = list(map(int, input().split()))
    bob_cards = list(map(int, input().split()))
    print(play_game(alice_cards, bob_cards))

第三题：

【回忆题目】$t$组数据，原数组有$ n $个整数，其中一个数被墨水盖住（未知）。

现在输入 $n-1 $个数（数组中剩下的数），要求找出原数组里可能形成的最长连续序列长度，其中连续序列的定义为：
$$nums[i]+1=nums[i+1]$$

代码实现

C语言

#include <stdio.h>

int max(int a, int b) {
    return a > b ? a : b;
}

int main() {
    int t;
    scanf("%d", &t);

    while(t--) {
        int n;
        scanf("%d", &n);
        int nums[n-1];
        for(int i=0; i<n-1; i++) {
            scanf("%d", &nums[i]);
        }

        int last1 = -1, last2 = -1, lastnum1 = 0, lastnum2 = -1;
        int l = 0, r = 0, len = 1;
        int maxLen = 1, id = 0;

        while(r + 1 < n - 1) {
            id = 0;
            while(r + 1 < n - 1 && nums[r] + 1 == nums[r + 1]) {
                r++;
            }
            len = r - l + 1;

            if(last2 == l - 1 && (lastnum2 == -1 || lastnum2 == nums[l] - 2)) {
                len += lastnum2 - lastnum1 + 2;
                id = 1;
            }

            if(len > maxLen) maxLen = len;
            last1 = l; last2 = r; lastnum1 = nums[l]; lastnum2 = nums[r];
            l = ++r;
        }

        if(id == 0) {
            if(len + 1 > maxLen) maxLen = len + 1;
        }

        printf("%d\n", maxLen);
    }

    return 0;
}

Python

def solve(nums, n):
    last1 = -1
    last2 = -1
    lastnum1 = 0
    lastnum2 = -1
    l = 0
    r = 0
    len_seq = 1
    maxLen = 1
    id_flag = 0

    while r + 1 < n - 1:
        id_flag = 0
        while r + 1 < n - 1 and nums[r] + 1 == nums[r + 1]:
            r += 1
        len_seq = r - l + 1

        if last2 == l - 1 and (lastnum2 == -1 or lastnum2 == nums[l] - 2):
            len_seq += lastnum2 - lastnum1 + 2
            id_flag = 1

        maxLen = max(maxLen, len_seq)
        last1, last2 = l, r
        lastnum1, lastnum2 = nums[l], nums[r]
        l = r = r + 1

    if id_flag == 0:
        maxLen = max(maxLen, len_seq + 1)

    return maxLen

if __name__ == "__main__":
    t = int(input())
    for _ in range(t):
        n = int(input())
        nums = list(map(int, input().split()))
        print(solve(nums, n))

第四题：

【回忆题目】给定一个长度为 (n) 的整数数组 nums，以及一个整数 (m)（子数组长度），求所有长度至少为 (m) 的连续子数组的中位数的最大值。

• 子数组：数组中连续的一段元素
• 中位数：对于长度为 (k) 的子数组，将其排序后，中间位置的元素（如果长度为偶数，取下中位数，即第 (k/2) 个元素，0 下标）

输入格式

• 第一行：整数 (t)，表示测试用例数
• 每个测试用例
  • 第一行：两个整数 (n) 和 (m)
  • 第二行：(n) 个整数，表示数组 nums

输出格式

• 对每个测试用例输出一个整数：所有长度 ≥ (m) 的子数组中位数的最大值\

思路：二分+滑动窗口

1. 二分答案：假设中位数最大值为 x，我们可以二分搜索 x

2. 转换数组：

   • 将 nums[i] 转换为 +1 / -1：

     nums[i] >= x → 1
     nums[i] < x → -1
     

   • 这样问题转化为：是否存在长度 ≥ m 的子数组，使得1 的数量 ≥ -1 的数量（等价于前缀和 ≥ 0）

3. 前缀和 + 滑动最小值判断：

   • 计算前缀和 pre[i]
   • 对每个 i，检查 pre[i] - min(pre[j]) >= 0，其中 j 在窗口长度限制下
   • 如果存在，则中位数可以 ≥ x

代码实现

C语言

#include <stdio.h>

int max(int a,int b){return a>b?a:b;}
int min(int a,int b){return a<b?a:b;}

int check(int nums[], int n, int m, int x){
    int pre[n+1];
    pre[0] = 0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        pre[i+1] = pre[i] + (nums[i]>=x ? 1 : -1);
    }
    int min_pre = 0;
    for(int i=m;i<=n;i++){
        if(pre[i]-min_pre>=0) return 1;
        min_pre = min(min_pre, pre[i-m+1]);
    }
    return 0;
}

int main(){
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        int n,m;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        int nums[n];
        int mn=1e9,mx=-1e9;
        for(int i=0;i<n;i++){
            scanf("%d",&nums[i]);
            if(nums[i]<mn) mn=nums[i];
            if(nums[i]>mx) mx=nums[i];
        }
        int l=mn,r=mx,ans=mn;
        while(l<=r){
            int mid=(l+r)/2;
            if(check(nums,n,m,mid)){
                ans=mid;
                l=mid+1;
            }else{
                r=mid-1;
            }
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

Python

def check(nums, m, x):
    n = len(nums)
    a = [1 if num >= x else -1 for num in nums]
    pre = [0]*(n+1)
    for i in range(n):
        pre[i+1] = pre[i] + a[i]

    min_pre = 0
    for i in range(m, n+1):
        if pre[i] - min_pre >= 0:
            return True
        min_pre = min(min_pre, pre[i - m + 1])
    return False

def max_median(nums, m):
    l, r = min(nums), max(nums)
    ans = l
    while l <= r:
        mid = (l + r) // 2
        if check(nums, m, mid):
            ans = mid
            l = mid + 1
        else:
            r = mid - 1
    return ans

if __name__ == "__main__":
    t = int(input())
    for _ in range(t):
        n, m = map(int, input().split())
        nums = list(map(int, input().split()))
        print(max_median(nums, m))

第五题：

**【回忆题目】**已知两个正整数 (a) 和 (b)。定义函数：
$$f(x)=\frac{\text{lcm}(a+x,b+x)}{\gcd (a+x,b+x)}$$
求一个非负整数 $x$，使得$f(x)$的值最小，并输出这个最小值

思路

已知两个正整数 (a) 和 (b)，定义函数：
$$f(x)=\frac{\mathrm{lcm}(a+x,b+x)}{\gcd (a+x,b+x)},x\ge 0$$
利用$ lcm-gcd$ 关系式：
$$\mathrm{lcm}(u,v)=\frac{u\cdot v}{\gcd (u,v)}$$
所以
$$f(x)=\frac{\frac{(a+x)(b+x)}{\gcd (a+x,b+x)}}{\gcd (a+x,b+x)}=\frac{(a+x)(b+x)}{\gcd (a+x,b+x{)}^2}$$
设
$$d=b-a$$
则
$$\gcd (a+x,b+x)=\gcd (a+x,a+d+x)=\gcd (a+x,d)$$
所以函数可写为：
$$f(x)=\frac{(a+x)(a+d+x)}{\gcd (a+x,d{)}^2}$$

结论：最小化 $f(x$) 等价于最大化 $\gcd (a+x,d)$。

设
$$g=\gcd (a+x,d)$$

• 则 (g) 必须是 (d) 的约数：$g\mid d$
• 同时$ x \ge 0$且满足：

$$a+x\equiv 0(\mathrm{mod}g)⟹x\equiv -a(\mathrm{mod}g)$$

对每个 $g\mid d$：

求最小非负整数 $x$ 使得
$$x\equiv -a(\mathrm{mod}g),x\ge 0$$
计算对应的 $f(x)$：
$$f(x)=\frac{(a+x)(b+x)}{g^2}=\frac{(a+x)(a+d+x)}{g^2}$$
最小值为所有约数的最小值：
$$f_{\min }=\underset{g\mid d}{\min }\frac{(a+x)(a+d+x)}{g^2}$$

• 如果 (a = b)，则 (d = 0)，此时：

$$f(0)=\frac{a^2}{a^2}=1$$

• 所以最小值为 (1)。

最终公式：
$$f_{\min }=\underset{g\mid d}{\min }\frac{(a+x)(b+x)}{g^2},x=(g-a\mathrm{mod}g)\mathrm{mod}g$$

代码实现

C语言

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

long long gcd(long long a, long long b){
    while(b){ long long t=b; b=a%b; a=t;}
    return a;
}

int main(){
    long long a,b;
    scanf("%lld%lld",&a,&b);
    long long d = llabs(b-a);

    if(d==0){
        printf("1\n");
        return 0;
    }

    long long min_val = (long long)1e18;
    for(long long i=1;i*i<=d;i++){
        if(d%i==0){
            long long k1 = i;
            long long k2 = d/i;
            long long ks[2] = {k1, k2};
            for(int j=0;j<2;j++){
                long long k = ks[j];
                long long x = (k - a%k)%k;
                long long g = gcd(a+x, b+x);
                long long val = (a+x)*(b+x)/(g*g);
                if(val < min_val) min_val = val;
            }
        }
    }
    printf("%lld\n", min_val);
    return 0;
}

Python

import math

def get_divisors(n):
    divs = set()
    for i in range(1, int(n**0.5)+1):
        if n % i == 0:
            divs.add(i)
            divs.add(n//i)
    return divs

def min_lcm_gcd(a, b):
    d = abs(b - a)
    if d == 0:
        return 1  # a == b, f(0) = 1

    min_val = float('inf')
    for k in get_divisors(d):
        # x >= 0, make (a+x) divisible by k
        x = (k - a % k) % k
        g = math.gcd(a+x, b+x)
        val = (a+x)*(b+x)//(g*g)
        min_val = min(min_val, val)
    return min_val

if __name__ == "__main__":
    a, b = map(int, input().split())
    print(min_lcm_gcd(a, b))

第六题

更新中