SOA EXAM FM FINANCIAL MATHEMATICS 习题练习 1-50

目录

1. 问题 1-10
2. 问题 11-20
3. 问题 21-30
4. 问题 31-40
5. 问题 41-50

Q1

Bruce deposits 100 into a bank account. His account is credited interest at an annual nominal rate of interest of 4% convertible semiannually.

At the same time, Peter deposits 100 into a separate account. Peter’s account is credited interest at an annual force of interest of $\delta$.

After 7.25 years, the value of each account is the same.

Calculate $\delta$.

A. 0.0388 B. 0.0392 C. 0.0396 D. 0.0404 E. 0.0414

解答：

知识点是 All-in-one Relationship Formula 中利率和利息力之间转换。

Given the same principal invested for the same period of time yields the same accumulated value, the two measures of interest $i^{(2)}=0.04$ and $\delta$ must be equivalent, which means: $(1+\frac{i^{(2)}}{2}{)}^2=e^{\delta }$ over a one-year period.
$$e^{\delta }=(1+\frac{i^{(2)}}{2}{)}^2=1.02^2=1.0404$$
$$\delta =\ln (1.0404)=0.0396$$

Bruce 存入 100 元，账户按名义年利率 4% 每半年复利计息。因此，每半年的实际利率为 $\frac{4\%}{2}=2\%=0.02$。7.25 年后，Bruce 账户的价值为：
$$100\times (1.02{)}^{2\times 7.25}=100\times (1.02{)}^{14.5}$$

Peter 存入 100 元，账户按年常数利息力 $\delta$ 计息。7.25 年后，Peter 账户的价值为：
$$100\times e^{\delta \times 7.25}$$

根据题意，7.25 年后两个账户价值相等：
$$100\times (1.02{)}^{14.5}=100\times e^{7.25\delta }$$
除以 100 得：
$$(1.02{)}^{14.5}=e^{7.25\delta }$$

对两边取自然对数：
$$\ln \left((1.02{)}^{14.5}\right)=\ln \left(e^{7.25\delta }\right)$$
$$14.5\ln (1.02)=7.25\delta$$

解出 $\delta$:
$$\delta =\frac{14.5\ln (1.02)}{7.25}=2\ln (1.02)=\ln \left((1.02{)}^2\right)=\ln (1.0404)=0.0396$$

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Q2

Kathryn deposits 100 into an account at the beginning of each 4-year period for 40 years. The account credits interest at an annual effective interest rate of $i$.

The accumulated amount in the account at the end of 40 years is $X$, which is 5 times the accumulated amount in the account at the end of 20 years.

Calculate $X$.

A. 4695
B. 5070
C. 5445
D. 5820
E. 6195

解答：

知识点是付款频次小于计息频次，计息频次是年而付款频次是每四年。

凯瑟琳（Kathryn）在40年期间，每4年的年初存入100元。账户按年有效利率 $i$ 计息。40年末的累积金额为 $X$，且 $X$ 是20年末累积金额的5倍。需要计算 $X$。

常规解法

1. 存款时间点：

   • 存款发生在时间 $t=0,4,8,\dots ,36$（以年为单位）。
   • 总存款次数：40年 / 4年 = 10次（因为每4年存一次，且包括起始点）。

2. 累积金额计算：

   • 设 $r=(1+i{)}^4$，其中 $i$ 为年有效利率。这表示每4年的累积因子。
   • 40年末累积金额 $X$：
     • 每笔存款累积至40年末：
       • 第一笔（$t=0$）累积40年：$100\times (1+i{)}^{40}=100\times r^{10}$（因为 $r=(1+i{)}^4$，所以 $(1+i{)}^{40}=r^{10}$)。
       • 第二笔（$t=4$）累积36年：$100\times (1+i{)}^{36}=100\times r^9$。
       • …
       • 第十笔（$t=36$）累积4年：$100\times (1+i{)}^4=100\times r$。
     • 因此，$X=100(r+r^2+r^3+\cdots +r^{10})$。
     • 这是一个几何级数（首项 $r$，公比 $r$，项数10）：
       $$X=100r\frac{r^{10}-1}{r-1}$$
   • 20年末累积金额 $A_{20}$：
     • 存款至 $t=16$（因为 $t=20$ 时，存款发生在 $t=0,4,8,12,16$，共5次）。
     • 每笔存款累积至20年末：
       • 第一笔（$t=0$）累积20年：$100\times (1+i{)}^{20}=100\times r^5$。
       • 第二笔（$t=4$）累积16年：$100\times (1+i{)}^{16}=100\times r^4$。
       • …
       • 第五笔（$t=16$）累积4年：$100\times (1+i{)}^4=100\times r$。
     • 因此，$A_{20}=100(r+r^2+r^3+r^4+r^5)$。
     • 几何级数（首项 $r$，公比 $r$，项数5）：
       $$A_{20}=100r\frac{r^5-1}{r-1}$$

3. 建立方程：

   • 给定 $X=5A_{20}$：
     $$100r\frac{r^{10}-1}{r-1}=5\times 100r\frac{r^5-1}{r-1}.$$
   • 简化（假设 $r\ne 1$，即 $i\ne 0$）：
     $$r^{10}-1=5(r^5-1).$$
     $$r^{10}-5r^5+4=0.$$
   • 令 $u=r^5$，则方程变为二次方程：
     $$u^2-5u+4=0.$$
   • 解：
     $$u=\frac{5\pm \sqrt{25-16}}{2}=\frac{5\pm 3}{2}.$$
     • $u=4$ 或 $u=1$.
     • 若 $u=1$，则 $r^5=1$，即 $r=1$（对应 $i=0$），但此时存款无利息，验证不满足 $X=5A_{20}$，故舍去。
     • 因此，$u=4$，即 $r^5=4$.

4. 求 $X$：

   • 由 $r^5=4$，得 $r^{10}=(r^5{)}^2=4^2=16$.
   • 代入 $X$ 的公式：
     $$X=100r\frac{r^{10}-1}{r-1}=100r\frac{16-1}{r-1}=100r\frac{15}{r-1}=1500\frac{r}{r-1}.$$
   • 其中 $r=(1+i{)}^4=4^{1/5}$（因为 $r^5=4$）.
   • 数值计算：
     • $4^{1/5}\approx 1.31951$（因为 $1.31951^5\approx 4$）.
     • 计算 $\frac{r}{r-1}=\frac{1.31951}{1.31951-1}=\frac{1.31951}{0.31951}\approx 4.1302$.
     • 则 $X=1500\times 4.1302=6195.3\approx 6195$.

特殊解法：Off Annuity

• Annuity Due：
  $$100\frac{s_{\overline{40}|}}{a_{\overline{4}|}}=5(100)\frac{s_{\overline{20}|}}{a_{\overline{4}|}}$$
  $$\frac{(1+i{)}^{40}-1}{i}=5\frac{(1+i{)}^{20}-1}{i}$$
  简化得 $(1+i{)}^{40}-5(1+i{)}^{20}+4=0$，解为 $(1+i{)}^{20}=4$（与上述 $r^5=4$ 一致，因为 $r^5=[(1+i{)}^4{]}^5=(1+i{)}^{20}$).
  $$X=100\frac{1.31951-1.31951^{11}}{1-1.31951}\approx 6195$$

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Q3

Eric deposits 100 into a savings account at time 0, which pays interest at an annual nominal rate of $i$, compounded semiannually.

Mike deposits 200 into a different savings account at time 0, which pays simple interest at an annual rate of $i$.

Eric and Mike earn the same amount of interest during the last 6 months of the $8^{\text{th}}$ year.

Calculate $i$.

A. 9.06%
B. 9.26%
C. 9.46%
D. 9.66%
E. 9.86%

解答：

知识点是简单利率和复利的利息计算。

Eric’s (compound) interest in the last 6 months of the 8th year is $100{\left(1+\frac{i}{2}\right)}^{15}\frac{i}{2}$.

Mike’s (simple) interest for the same period is $200\frac{i}{2}$.

Thus,

$$100(1+\frac{i}{2}$$