校赛Round2 1008 低能数学题-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Ramay7/article/details/50313707

本文介绍了解决一道涉及椭圆与直线相交问题的方法。通过设定直线斜率和椭圆方程联立得到关于x的二次方程，进而求解线段PC与AB长度比值为p时的直线斜率k。文章提供了完整的解析过程和C语言实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Problem Description

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

以及它的左准线l：x=-2，过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P、C，若PC=pAB，求直线AB的斜率k。

Input

输入有多组数据（约100组）。每组数据一行一个实数p，表示线段PC与AB长度的比值p（p>=2）

Output

对于每组数据，输出一行一个实数k，表示直线AB的斜率，如果有多组解，请输出最小的一个正数解（保留3位小数）

Sample Input

2
2.5
100

Sample Output

1.000
0.378
0.007

分析：

没想到时隔一年多又遇到了解几题！还是在这种情况下遇到的！ <(￣ˇ￣)/

最后半个小时就是在做这道题，可惜没做出来~，太弱了╮(╯▽╰)╭

直接设AB直线斜率k，和椭圆方程联立消去y可得x的二次方程：

设A（x1,y1）,B(x2,y2)，则

PC是AB的垂直平分线，且P点的横坐标上-2，C是AB中点；可得P，C点坐标：

进而可得PC,AB的长度：

带入PC=p*AB并化简可得：

利用求根公式可解得：

难点就是计算准确性！

现场做的时候只做到求出PC,AB长度这一步，下面就不敢写了.....，其实要是有信心写下去用求根公式一下子就写出来了，╮(╯▽╰)╭

#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main()
{
	freopen("in.txt", "r", stdin);
	freopen("out.txt", "w", stdout);
	double m, n, t, p, k, k1, k2;
	while (~scanf("%lf", &p))
	{
		n = p*p - 3;
		m = p*sqrt(p*p - 4);
		t = 9 - 2*p*p;
		k1 = (n + m) / t;
		k2 = (n - m) / t;
		if (k1 > 0 && k2 > 0)
		{//需要加一个简单的判断，因为题目要求输出最小正数解
			k = k1 < k2 ? k1 : k2;
		}
		else
		{
			k = k1 > 0 ? k1 : k2;
		}
		printf("%.3lf\n", sqrt(k));
	}
	return 0;
}