等比数列二分求和(首项为0次项与1次项的方法)

最新推荐文章于 2019-05-28 15:45:00 发布

Rain722

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分类专栏：数学-基础 ACM

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Rain722/article/details/71081520

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本文介绍了一种高效的等比数列求和算法，并提供了详细的C++实现代码。算法适用于处理大规模数据集，特别是在计算涉及大整数的等比数列求和问题时表现优秀。文中还区分了首项是否为0的情况，并分别给出了相应的计算公式。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

首项为1次项的，前面的博客中已经有过讲解：http://blog.youkuaiyun.com/rain722/article/details/71034438

附上代码：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>

using namespace std;
const int M = 1000000007;
typedef long long LL;

LL power(LL a,LL b)
{
    LL ans = 1;
    a %= M;
    while(b)
    {
        if(b & 1)
        {
            ans = ans * a % M;
            b--;
        }
        b >>= 1;
        a = a * a % M;
    }
    return ans;
}

LL sum(LL a,LL n)
{
    if(n == 1) return a;
    LL t = sum(a,n/2);
    if(n & 1)
    {
        LL cur = power(a,n/2+1);
        t = (t + t * cur % M) % M;
        t = (t + cur) % M;
    }
    else
    {
        LL cur = power(a,n/2);
        t = (t + t * cur % M) % M;
    }
    return t;
}

int main()
{
    LL a,n;
    while(cin>>a>>n)
        cout<<sum(a,n)<<endl;
    return 0;
}

首项为0次项的满足以下公式：

首先注明n为不包含0次项的项数，比如a^0, a^1, a^2, a^3, a^4这个等比数列的项数需要传入的参数为n = 4

S(n)表示包括0次项即1但不计入项数内的前n项和，比如S(4) = a^0 + a^1 + a^2 + a^3 + a^4

n为奇数（不包括0次项即1的项为奇数）

S(n) = (1+a^(n/2 + 1)) * S(n/2)

n为偶数（不包括1的项）

S(n) = (1+a^(n/2)) * S(n/2 - 1) + a^n

代码：需要注意的是传入的参数n为不包括0次项的项数

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>

using namespace std;
const int M = 1000000007;
typedef long long LL;

LL power(LL a,LL b)
{
    LL ans = 1;
    a %= M;
    while(b)
    {
        if(b & 1)
        {
            ans = ans * a % M;
            b--;
        }
        b >>= 1;
        a = a * a % M;
    }
    return ans;
}

LL sum(LL a,LL n)
{
    if(n == 0) return 1;
    LL t = sum(a,(n-1)/2);
    if(n & 1)
    {
        LL cur = power(a,n/2+1);
        t = (t + t * cur % M) % M;
    }
    else
    {
        LL cur = power(a,n/2);
        t = (t + t * cur % M) % M;
        t = (t + power(a,n)) % M;
    }
    return t;
}
int main()
{
    LL a,n;
    while(cin>>a>>n)
        cout<<sum(a,n)<<endl;
    return 0;
}