二分查找(Binary Search)复习

1、定义

    二分查找又称折半查找，它是一种效率较高的查找方法。

    二分查找要求：线性表是有序表，即表中结点按关键字有序，并且要用向量作为表的存储结构。不妨设有序表是递增有序的。

2、基本思想

    二分查找的基本思想是：

    设R[low..high]是当前的查找区间

 （1）首先确定该区间的中点位置：

                  

 （2）然后将待查的K值与R[mid].key比较：若相等，则查找成功并返回此位置，否则须确定新的查找区间，继续二分查找，具体方法如下：

    ①  若R[mid].key>K，则由表的有序性可知R[mid..n].keys均大于K，因此若表中存在关键字等于K的结点，则该结点必定是在位置mid左边的子表R[1..mid-1]中，故新的查找区间是左子表R[1..mid-1]。

    ②  若R[mid].key<K，则要查找的K必在mid的右子表R[mid+1..n]中，即新的查找区间是右子表R[mid+1..n]。下一次查找是针对新的查找区间进行的。

    因此，从初始的查找区间R[1..n]开始，每经过一次与当前查找区间的中点位置上的结点关键字的比较，就可确定查找是否成功，不成功则当前的查找区间就缩小一半。这一过程重复直至找到关键字为K的结点，或者直至当前的查找区间为空(即查找失败)时为止。

 

int Binary_Search(int *a, int n, int key)
{
	int low, high, mid;
	low = 1;
	high = n;

	while (low <= high)
	{
		mid = (low + high) / 2;
		if (key < a[mid])
			high = mid - 1;
		else if (key > a[mid])
			low = mid + 1;
		else
			return mid;
	}
	return 0;
}

②  二分查找的平均查找长度

    设内部结点的总数为n=2h-1，则判定树是深度为h=lg(n+1)的满二叉树(深度h不计外部结点)。树中第k层上的结点个数为2k-1，查找它们所需的比较次数是k。因此在等概率假设下，二分查找成功时的平均查找长度为：

           ASLbn≈lg(n+1)-1

    二分查找在查找失败时所需比较的关键字个数不超过判定树的深度，在最坏情况下查找成功的比较次数也不超过判定树的深度。即为：

            

    二分查找的最坏性能和平均性能相当接近。

③  二分查找的优点

    折半查找的时间复杂度为O(logn)，远远好于顺序查找的O(n)。

④  二分查找的缺点

    虽然二分查找的效率高，但是要将表按关键字排序。而排序本身是一种很费时的运算。既使采用高效率的排序方法也要花费O(nlgn)的时间。

⑤  适用情况

    二分查找只适用顺序存储结构。为保持表的有序性，在顺序结构里插入和删除都必须移动大量的结点。因此，二分查找特别适用于那种一经建立就很少改动、而又经常需要查找的线性表。

    对那些查找少而又经常需要改动的线性表，可采用链表作存储结构，进行顺序查找。链表上无法实现二分查找