树状数组（例题：HDU1166）

树状数组(Binary Indexed Tree(B.I.T), Fenwick Tree)是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和，但是每次只能修改一个元素的值。

 

修改和求和的时间复杂度：logn

 

设节点编号为x，那么这个节点管辖的区间为2^k（其中k为x二进制末尾0的个数）个元素。

例如：

C1（0001） = A1                                                                 k=0，管辖区域1

C2（0010） = A1 + A2                                                        k=1，管辖区域2

C3（0011） = A3                                                                 k=0，管辖区域1

C4（0100） = A1 + A2 + A3 + A4                                        k=1，管辖区域2

C5（0101） = A5                                                                 k=0，管辖区域1

C6（0110） = A5 + A6                                                         k=1，管辖区域2

C7（0111） = A7                                                                  k=0，管辖区域1

C8 （1000）= A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8      k=3，管辖区域8

 

求和：

step1:　令sum = 0，转第二步；

step2:　假如n <= 0，算法结束，返回sum值，否则sum = sum + Cn，转第三步；

step3: 令n = n – lowbit(n)，转第二步。

 

lowbit操作：求二进制末尾的1的位置，与自身负数进行与操作

//求二进制末尾的1的位置
int lowbit(int x)
{
	return x&-x;
}

 

update操作：

//更新第k位置+x，如果是减就传入-x
void update(int k,int x)
{
    //修改所有管辖到k的位置，直到大于所有的个数
	while(k<=n)
	{
		tree[k]+=x;
        //寻找下一个位置
		k+=lowbit(k);
	}
}

 

Query操作：这里是求和

//其实是update的逆操作
int query(int k)
{
	int res=0;
	while(k)
	{
		res+=tree[k];
		k-=lowbit(k);
	}
	return res;
}

 

 

例题：HDU1166

敌兵布阵

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 128070    Accepted Submission(s): 53664
 

Problem Description

C国的死对头A国这段时间正在进行军事演习，所以C国间谍头子Derek和他手下Tidy又开始忙乎了。A国在海岸线沿直线布置了N个工兵营地,Derek和Tidy的任务就是要监视这些工兵营地的活动情况。由于采取了某种先进的监测手段，所以每个工兵营地的人数C国都掌握的一清二楚,每个工兵营地的人数都有可能发生变动，可能增加或减少若干人手,但这些都逃不过C国的监视。
中央情报局要研究敌人究竟演习什么战术,所以Tidy要随时向Derek汇报某一段连续的工兵营地一共有多少人,例如Derek问:“Tidy,马上汇报第3个营地到第10个营地共有多少人!”Tidy就要马上开始计算这一段的总人数并汇报。但敌兵营地的人数经常变动，而Derek每次询问的段都不一样，所以Tidy不得不每次都一个一个营地的去数，很快就精疲力尽了，Derek对Tidy的计算速度越来越不满:"你个死肥仔，算得这么慢，我炒你鱿鱼!”Tidy想：“你自己来算算看，这可真是一项累人的工作!我恨不得你炒我鱿鱼呢!”无奈之下，Tidy只好打电话向计算机专家Windbreaker求救,Windbreaker说：“死肥仔，叫你平时做多点acm题和看多点算法书，现在尝到苦果了吧!”Tidy说："我知错了。。。"但Windbreaker已经挂掉电话了。Tidy很苦恼，这么算他真的会崩溃的，聪明的读者，你能写个程序帮他完成这项工作吗？不过如果你的程序效率不够高的话，Tidy还是会受到Derek的责骂的.

 

Input

第一行一个整数T，表示有T组数据。
每组数据第一行一个正整数N（N<=50000）,表示敌人有N个工兵营地，接下来有N个正整数,第i个正整数ai代表第i个工兵营地里开始时有ai个人（1<=ai<=50）。
接下来每行有一条命令，命令有4种形式：
(1) Add i j,i和j为正整数,表示第i个营地增加j个人（j不超过30）
(2)Sub i j ,i和j为正整数,表示第i个营地减少j个人（j不超过30）;
(3)Query i j ,i和j为正整数,i<=j，表示询问第i到第j个营地的总人数;
(4)End 表示结束，这条命令在每组数据最后出现;
每组数据最多有40000条命令

 

Output

对第i组数据,首先输出“Case i:”和回车,
对于每个Query询问，输出一个整数并回车,表示询问的段中的总人数,这个数保持在int以内。

 

Sample Input

1
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Query 1 3
Add 3 6
Query 2 7
Sub 10 2
Add 6 3
Query 3 10
End 

Sample Output

Case 1:
6
33
59

Source

HDU1166

题意：很显然，直接暴力会超时，这个用线段树也可以，这里用树状数组来实现。

代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
using namespace std;

int tree[50005];
int T,n,x,y;
string s;

int lowbit(int x)
{
	return x&-x;
}

//更新
void update(int k,int x)
{
	while(k<=n)
	{
		tree[k]+=x;
		k+=lowbit(k);
	}
}

//求和
int query(int k)
{
	int res=0;
	while(k)
	{
		res+=tree[k];
		k-=lowbit(k);
	}
	return res;
}

int main()
{
	scanf("%d",&T);
	for (int cnt=1;cnt<=T;cnt++)
	{
		printf("Case %d:\n",cnt);
		scanf("%d",&n);
		memset(tree,0,sizeof(tree));
		for (int i=1;i<=n;i++)
		{
			scanf("%d",&x);
			update(i,x);
		}
		while(cin >> s && s!="End")
		{
			if (s=="Query")
			{
				scanf("%d%d",&x,&y);
				printf("%d\n",query(y)-query(x-1));
			}
			else if (s=="Add")
			{
				scanf("%d%d",&x,&y);
				update(x,y);
			}
			else
			{
				scanf("%d%d",&x,&y);
				update(x,-y);
			}				
		}
	}
	return 0;
}