1066约瑟夫问题

1066: 约瑟夫问题

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题目描述

约瑟夫问题：有ｎ只猴子，按顺时针方向围成一圈选大王（编号从１到ｎ），从第１号开始报数，一直数到ｍ，数到ｍ的猴子退出圈外，剩下的猴子再接着从1 开始报数。就这样，直到圈内只剩下一只猴子时，这个猴子就是猴王，编程求输入ｎ，ｍ后，输出最后猴王的编号。

输入

每行是用空格分开的两个整数，第一个是 n, 第二个是 m ( 0 < m, n < 300)。最后一行是： 0 0

输出

对于每行输入数据（最后一行除外)，输出数据也是一行，即最后猴王的编号

样例输入

6 2
12 4
8 3
0 0

样例输出

5
1
7



 

  【内容摘自百度百科】无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm），当n，m非常大（例如上百万，上千万）的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。
 
 

  为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
 
 

  问题描述：n个人（编号0~(n-1）），从0开始报数，报到（m-1）的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
 
 

  我们知道第一个人（编号一定是（m-1） mod n) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的
  约瑟夫环（以编号为k=m mod n的人开始）：
 
 

  k k+1 k+2 ... n-2,n-1,0,1,2,... k-2
 
 

  并且从k开始报0。
 
 

  我们把他们的编号做一下转换：
 
 

  k --> 0
 
 

  k+1 --> 1
 
 

  k+2 --> 2
 
 

  ...
 
 

  ...
 
 

  k-2 --> n-2
 
 

  变换后就完完全全成为了（n-1）个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k) mod n
 
 

  如何知道（n-1）个人报数的问题的解？对，只要知道（n-2）个人的解就行了。（n-2）个人的解呢？当然是先求（n-3）的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写
  递推公式：
 
 

  令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]
 
 

  递推公式
 
 

  f[1]=0;
 
 

  f=(f+m) mod i; (i>1）
 
 

  有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1
 
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
	int n=1,m=1;
	int f = 0;
	while (n != 0 && m != 0){
		cin >> n >> m;
		f = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			f = (f + m) % i;
		cout << f + 1 << endl;
	}
	return 0;
}


====

最一般的方法→_→

先创建一个数组，全部置0.

n个猴子，全部置1。count标记现在剩下多少只猴子，m_count为

开始计数，数到m就退出，也就是令其为0.

创建一个数组，

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
	int m = 0, n = 0;
	int count, m_count;
	int data[300] = { 0 };//用数组标志该位置猴子是否删了，如果删了置0
	while (cin >> n >> m && m && n)//每次输入数据n,m，n,m不等于0
	{
		for (int i = 0; i < n; ++i)
			data[i] = 1;//全部置为1
		count = n;
		m_count = 0;
		while (count > 1) //count标志还剩下几只猴子
		{
			for (int i = 0; i < n; i++)
			if (data[i]<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">==1</span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">)//在剩下的猴子中间，记录其标号</span>
			{
				m_count++;
				if (m_count % m==0)//如果是m的倍数就退出
				{
					data[i] = 0;
					count--;//剩下的猴子减少
				}
			}
		}
		for (int i = 0; i < n; i++)
		if (data[i]==1)
			cout << i + 1 << endl;//其实不需要循环了，最后只剩下一个了，那就是猴王啦
	}
	return 0;
}