C++算法之计数排序

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本文详细介绍了计数排序算法的原理，包括如何统计元素出现次数、构建前缀和数组以及如何根据前缀和分配元素位置。提供了一个C++实现示例，并分析了算法的时间和空间复杂度，指出在特定条件下，计数排序能达到线性时间复杂度，优于基于比较的排序算法。

C++算法之计数排序

文章目录

C++算法之计数排序
一、算法描述
二、代码实现
三、复杂度分析

一、算法描述

给定长度为n的序列，假设已知序列元素的范围都是[0..K]中的整数，并且K的范围比较小（例如10^6，开长度为10^6左右的int类型数组所占用的内存空间只有不到4M）。解决该问题的计数排序算法描述如下：

使用整数数组cnt统计[1..K]范围内所有数字在序列中出现的个数。
使用变量i枚举1到K，如果i出现了cnt[i]次，那么在答案序列的末尾添加cnt[i]个i。

下图是一个n=6, K=3的例子：
在这里插入图片描述
值得一提的是，如果元素的范围可以被很容易转换到[0..K]，我们也可以使用计数排序。如果元素范围是[A..B]，我们可以通过简单的平移关系将其对应到[0..B-A]上。或者所有数值均为绝对值不超过100的两位小数，那么我们可以通过将所有数字放大100倍将其转换为整数。

找出原序列中元素在答案中的位置

在有些场景中，比如我们根据(key, value)中的key关键字进行排序，如果只是使用上面的计数排序，我们无法将value放到相应的key在答案序列中的对应位置中。但是，如果我们可以将原序列和答案序列元素的位置对应求出来，那么这个问题就能得到解决。

在这里插入图片描述
试想，对于原序列中的数字x，它排序后的位置可能出现在哪里呢？

因为在排序后的序列中，假设x第一次出现的位置是i，最后一次出现的位置是j，那么i之前的元素一定比x小，j出现的位置之后的元素一定比x大。假设原序列中<x元素的个数是A，≤x的元素个数是B，那么x可能出现的位置一定是[(A+1)..B]！

sum数组的求法和意义
那么，我们怎样求出A和B呢？假设我们对cnt数组求前缀和，如下图所示，cnt数组元素求前缀和后为sum数组：
在这里插入图片描述
这里，我们指出sum数组的意义：对于一个序列中可能出现的值x，sum[x]的含义是“小于等于x的数字个数”，同时，也可以看作指向答案序列中最后一个x出现的位置的指针。

利用sum数组分配位置

所以对于值x，A即为sum[x - 1]，B即为sum[x]，x出现的排名为(sum[x - 1] + 1)..sum[x]]，等价于[(sum[x] - cnt[x] + 1)..sum[x]]。我们将sum数组的位置标出来：
在这里插入图片描述
然后我们从后往前扫描每个元素，把它填到当前的sum对应值指向的格子中，并把sum向前移动。如下图：

有了原序列和答案序列的位置对应，我们也可以据此将对应元素放入答案数组中。所以该版本的计数排序算法描述如下：

统计原序列中每个值的出现次数，记为cnt数组。
从小到大枚举值的范围，对cnt数组求前缀和，记为sum数组。
从后往前枚举每个元素a[i]，分配其在答案中的位置idx[i]为当前的sum[a[i]]，也就是将其放在所有值等于a[i]中的最后一个。并且将sum[a[i]]减少1，保证下次再遍历到同样的值时，它分配的位置正好在idx[i]前面一个。

二、代码实现

代码如下（示例）：

#include <bits/stdc++.h>
#define N 1000005
#define K 1000001	// 假设非负整数最大元素范围为1000000
using namespace std;
int a[N], n, b[N];
int cnt[K];
int main() {
    // 输入
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cin >> a[i];
        ++cnt[a[i]];	// 这里通过计数数组cnt来维护每一种值出现的次数
    }
    
    // 维护最终有序序列
    for (int i = 0, j = 0; i < K; ++i)      // 枚举每一种值i，指针j用来枚举填充答案数组中的位置
        for (int k = 1; k <= cnt[i]; ++k)   // 根据该值出现的次数
            b[++j] = i;                     // 添加对应个数的i到答案序列
	
    // 输出
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        cout << b[i] << ' ';
    cout << endl;
    
    return 0;
}