红黑树的基本性质

红黑树的基本性质

1) 每个节点或是红色的，或是黑色的。
2) 根节点是黑色的。 
3) 每个叶节点(NIL)是黑色的。
4) 如果一个节点是红色的，则它的两个子节点都是黑色的。 
5) 对每个节点，从该节点到其所有后代叶节点的简单路径上，均包含相同数目的黑色节点。

红黑树插入时，如果插入红色节点则：

（由于插入黑色节点一定会导致性质五被破坏，所以考虑插入为红色节点的情况）

1. 性质一不会破坏
2. 性质二可能破坏
3. 性质三不会被破坏
4. 性质四可能被破坏
5. 性质五不会被破坏

当插入导致性质被破坏时需要调整：
由上面所述，只有性质二和四可能被破坏，而性质二只有在插入之前为空树时可能被破坏。所以我们需要关注性质四，即插入导致两个红色节点连在了一起。下面分情况表述：

• 1.插入的节点为根节点：**若插入前无任何节点，则插入后的节点为根节点直接设置为黑色即可。
• 2.插入的节点的父节点为黑色节点：**无需做任何改变因为不会影响红黑树性质
• 3.插入的节点的父节点为红色且uncle节点也是红色：** 此时将导致两个红色节点连接到了一起，此时我们考虑改变两个红色节点之中的一个，然而改变插入节点的颜色显然是无意义的，（如果改变相当于插入黑色节点），所以我们将插入节点的父节点设置为黑色，然而这样同时会导致性质五的违背，所以我们将其uncle节点也设置为黑色，并将parent的parent节点设置为红色，此时调整完成。插入节点为M,如下图：
  
  （图片来源于网络）
• 4.插入节点的父节点为红色且uncle节点为黑色（T.nil也为黑色），插入节点为右节点：**以插入节点的的父节点作为支点左旋变成情况5，再调整
  
  （图片来源于网络）
• 5.插入节点父节点为红色，uncle节点为黑色（T.nil为黑色），插入节点为的左子节点：**将parent节点设置为黑色，parent的parent节点设置为红色，并以parent节点为支点右旋。
  
  （图片来源于网络）

删除节点：

当我们删除一个节点时，z指向删除节点，y指向替换删除删除节点的节点，x指向y的右子树，首先按照二叉搜索树的的删除方式进行删除，并在其中加入部分代码记录Y的踪迹和y的初始颜色，还有x的踪迹（见《算法导论》第三版183页）。
删除节点的过程：当z只有一个子树时，y指向该子树，并直接将子树y替换z,当z有两个子树时选择右子树的最左侧节点作为y，并用y替换z，并用x替换y,并进行red-black tree调整。
所以实际过程相当于删除Y

当y是红色时，删除后不会影响红黑树的基本性质，可直接删除

当如果y是黑色，会出现如下三种情况：

1.如果原先的y是根节点，y的红色x替换y将导致违反性质2
2.如果替换后x和x的父节点都为红色则违反性质4
3.y在树中移动将导致包含y的任何简单路径和高度减一。

所以我们需要对y为黑色节点时被x替换后的树进行调整。
由于懒得画图使用网络图片~~~~这时N上文所述的x

1.如果N的兄弟节点为红色时

将B设置为黑色，N的父节点P设置为红色，然后以P为中心左旋转，则转换情况2

（图片来源于网络）

2.如果N的兄弟节点为黑色，并且两个子节点都为黑色（包括T.nil）：

将N的兄弟节点B变红，然后用N的父节点P作为新的N，进行递归操作。因为N是P的左子树，P的左子树路径中，删除N后，会缺少一个黑色节点，因此递归的将右树上的路径也减少一个黑色节点，知道N的颜色为红色。最后把当前的N节点置为黑色。最后产生的结果就是将右侧的黑色节点上移，这样右子树和左子树都没有减少黑色节点。

（图片来源于网络）

3.如果N的兄弟节点B是黑色的他的左孩子为红色，右孩子为黑色

将B变红，b1变黑，然后以B为中心右旋，则转换为情况4

（图片来源于网络）

4.如果N的兄弟节点B是黑色他的右孩子为红色，左孩子可红可黑

将B的颜色设置为与P的颜色一致，然后P和b2设置为黑色，以P为中心左旋。

（图片来源于网络）
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花了我整整一下午加一晚上时间才看懂了此算法，并立刻跟新博客，也为以后如果忘记也是一个不错的复习资料，不过很开心今晚的迎新晚会很棒棒~~~~~~，不早了再不睡要猝死啦。。。。。