测试20210422T1 Sample

最新推荐文章于 2025-06-21 23:42:03 发布

原创最新推荐文章于 2025-06-21 23:42:03 发布 · 168 阅读

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博客内容讲述了如何使用二分查找方法解决一个数学优化问题，涉及期望得分的计算。通过构造函数和图像分析，找到最优解，并给出具体步骤和代码实现，强调在实际编程中需要注意精度问题。

在这里插入图片描述

题解引用了拉格朗日乘数，但是我不会，所以讲一个更简单的方法。

当 $p$ 确定的时候，得分的期望应该是 $2×∑i(pi−pi2)2\times\sum i(p_i-p_i^2)$ 。令 $f(p)=p-p^2$ 然后画出它的图像

设最优解为 $p^*$ ，那么任意 $p_a^*,p_b^*$ 一定满足 $af'(p_a^*)=bf'(p_b^*)$ 。这个很好理解，假设 $af'(p_a^*)>bf'(p_b^*)$ ，则可以让 $p_a^*+x$ ， $pb∗−x,(x→0)p_b^*-x,(x\rightarrow0)$ ，于是 $ap_a^*(1-p_a^*)+bp_b^*(1-p_b^*)<a(p_a^*+x)(1-(p_a^*+x))+b(p_b^*-x)(1-(p_b^*-x))$ 显然这样 $p^*$ 就不是最优的了。所以画出每一个 $y_i=if'(p)$ 的图像

和图中一样，我们现在只需要找到一个蓝线 $l : y = C$ ，使得联立 $y_i=if'(p)$ 与 $y = C$ 后 $∑pi=1\sum p_i=1$ 。这个问题直接二分就可以了。
这样我们就能求出 $C$ ，考虑如何求答案，因为 $pi=i−C2ip_i=\frac{i-C}{2i}$ ，所以答案的可以写成 $∑i>Ci2−C22i\sum_{i>C}\frac{i}{2}-\frac{C^2}{2i}$ 。所以求出 $C$ 后，我们可以直接计算出答案。总时间复杂度 $O(Tlog⁡n)O(T\log n)$ 。

写代码的时候注意精度问题，别二分进死循环了2333

#include <bits/stdc++.h>
#define N 1000006
using namespace std;
const double eps=1e-10;
const int maxn=1e6;
double n,inv[N],sum[N];
int nn;
void get_pos(double &mid){
	double l=0,r=n,now;
	while(r-l>eps){
		mid=(r+l)*0.5;
		if(mid==l||mid==r) break;
		now=n-floor(mid)-mid*(inv[nn]-inv[(int)floor(mid)]);
		if(now>2) l=mid;
		else r=mid;
	}
}
void work(){
	cin>>n; nn=n;
	if(n<=1){ printf("%.14lf\n",(double)0); return; }
	if(n==2){ printf("%.14lf\n",(double)1.5); return; }
	double pos=(n-2.0)/inv[nn],ans=0,o=0.5;
	get_pos(pos);
	ans=o*(sum[nn]-sum[(int)floor(pos)]-pos*pos*(inv[nn]-inv[(int)floor(pos)]));
	printf("%.14lf\n",ans);
}
void init(){
	for(double i=1;i<=maxn;i++)
		inv[(int)i]=inv[(int)i-1]+(double)1.0/i,
		sum[(int)i]=sum[(int)i-1]+i;
}
int main(){
	init();
	int T; cin>>T;
	while(T--){ work(); }
}