深搜算法之石子划分问题

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#文件：深搜算法之石子划分问题
#作者：巧若拙
#日期：2019年1月4日
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给出n堆石子，以及每堆石子数。请将它们分为两堆，使得这两堆的总石子数差最小。
输入n，以及每堆石子数，输出分为两堆后的最小差值。
比如，n＝4，四堆石子分别有13，6，8，14颗，则可以分为13＋8和14＋6的两堆，它们的最小差为1。
分堆算法为
（1）求得所有石子数total，以及它的一半half；
（2）在所有石子堆中作适当选择，对每种选择方案，求不超过half的己选中堆中的石子总数的最大值mx。
所求即为（total－max）－max。
（3）以a(j)表示第j堆石子数；以b(j)表示第j堆石子是否被选中，
如果b(j)＝1，表示第j堆被选中，如果b(j)＝0表示第j堆没有被选中。
（4）各种方案的表达及次序如下：
以00…00（均不选中），00…01（只选中第n堆石子），00…10（只选中第n－1堆石子），
00…11（选中第n－1堆和第n堆石子），00…100（选中第n－2堆石子），
00…101（选中第n－2堆和第n堆石子），11…11（选中所有n堆石子）。
算法分析：
本题算法思想与“广搜算法之翻转棋子游戏”如出一辙。
初看本题，最容易想到的是穷举法，用包含n个元素的列表b分别表示堆石子的选择状态，b[i]=1表示选择第i堆石子，b[i]=0表示不选择。
可以穷举从b=[0,0,...0,0]到b=[1,1,...1,1]，即从都不选择到都选择。
若把列表b的值对应整数t的n位二进制数，则相当于穷举从t=0到t=2^n-1。
比较直白的算法是循环遍历每一个t，将t的n位二进制数存储到列表b；然后遍历b，若b[i]=1则选择第i堆石子；
完成本选择模式后，判断是否有解，若本选择模式能获得更好的解，则更新最优解。
上述算法思想简单明了，但把整数t转化成二进制数并存储到列表b的操作比较耗费时间。
我们可以使用位运算来处理整数t的二进制数，这样就无需引入列表b，可以直接操作整数t了，效率有所提升。
穷举法是容易想到的算法，但是效率实在太低，我们可以使用深度优先搜索（回溯加剪枝）来实现同样的功能。
这样我们就分别用穷举和深搜两种算法实现了所需功能。
回到最初的想法，我们使用列表b来表示整数t的二进制数的每一位，是很直观的想法，只不过每次都需要把整数转化成二进制数比较耗费时间；
其实我们可以直接修改列表b的值来模拟整数t递增的过程，这样就不需要引入整数t及其位运算了，数据结构更清晰。
我也用这种数据结构实现了穷举和深搜两种算法。
进一步思考：当石子堆数量n太大时，对应的n位二进制数太大了，用穷举法和回溯法都不适合；
因为我们对每个石子堆的操作都是选择或者不选择，所以本题可以当做一个0-1背包问题来解决（当然石子的总数不能太大，否则需要太大的空间），
我们可以把背包的容量用石子总量的一半half来代替，物品的质量和价值都用每堆石子的数量来代替，最大价值就是不超过half的石子数量，
这样就可以套用0-1背包问题的基本模型来解决本题。
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#将整数t的n位二进制数存储到列表d
def binary_number(t, n): 
    d =[0] * n #高位补零，凑足n位
    i = n -1
    while t > 0:
        d[i] = t & 1         #相当于t % 2
        i, t = i - 1, t >> 1 #相当于t // 2
    return d

#穷举法解石子划分问题：最直观的想法，把整数t的n位二进制数存储到列表b，并根据列表b的值来确定选择模式
def divide_stones_0(a):
    n, max_s = len(a), 0
    for t in range(1<<n): #遍历从[0,1<<len(a)]的所有选择模式
        b = binary_number(t, n) #将整数t的n位二进制数存储到列表b
        s = 0
        for i in range(n):
            s += a[i] * b[i] #累计被选中的石子堆的数量
        if s > max_s and s <= half: #更新最优解
            max_s = s
            d = b.copy()  
    s1, s2 = 0, 0
    for i in range(len(