位数问题

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	Name: 位数问题 
	Copyright: 
	Author: 
	Date: 04-07-17 15:50
	Description: 在所有的N位数中，有多少个数中有偶数个数字3？由于结果很大只需输出这个数mod12345
	输入：读人一个数n (1 < n <= 1000)
	输出： 输出有多少个数中有偶数个数字3 
	输入样例
2
输出样例
73
说明：包含0个三的有72个，包含2个3的数有1个，共73个。

算法思路：递推 
可以用f[i][0]表示前i位取偶数（包含0）个3有几种情况，f[i][1]表示前i位取奇数个3有几种情况，则状态方程为：
f[i][0] = f[i-1][0] * 9 + f[i-1][1]; 分为第i位不是3和第i位是3两种情况 
f[i][1] = f[i-1][1] * 9 + f[i-1][0]; 分为第i位不是3和第i位是3两种情况 
第一式中f[i-1][0]*9表示第i位可以取除3以外的其他9个数字，前i-1位有偶数个3；f[i-1][1]表示第i位是3，则前i-1位有奇数个3；
第二式与第一式原理相似。 

优化思路：降维
我们注意到 f[i][0]（或f[i][1]）只取决于f[i][0]和f[i][1] ，故可以用2个变量来代替数组：
用ai和bi分别代表f[i][0]和f[i][1]，用ai_1和bi_1分别代表f[i-1][0]和f[i-1][1]，则状态方程为：
ai = ai_1 * 9 + bi_1; 分为第i位不是3和第i位是3两种情况 
bi = bi_1 * 9 + ai_1; 分为第i位不是3和第i位是3两种情况 
*/
#include<iostream>

using namespace std;

int Fun_1(int n); //朴素动态规划算法 
int Fun_2(int n); //降维优化 

const int MODNUM = 12345; //为避免溢出，用来取模的数字 
const int MAX = 1001;
int f[MAX][2]; //为理解方便，分别用f[1][0]和f[1][1]表示第1位取偶数个3和奇数个3

int main()
{  
   	int n;
   	
   	cin >> n;
   	
   	cout << Fun_1(n) << endl;
   	cout << Fun_2(n) << endl;
   	
    return 0;  
}  

int Fun_1(int n) //朴素动态规划算法 
{
 	f[1][0] = 9; //第1位有偶数（0）个3，即第1位可以去除了3以外的其他9个数字，有9种情况 
    f[1][1] = 1; //第1位有奇数（1）个3，即第1位取数字3，只有1种情况
	
	for (int i=2; i<n; i++) //处理第2到第n-1位数，每位数均有取3或不取3两种可能，其中不取3时，可以取除3以外的其他9个数字
	{
	 	f[i][0] = (f[i-1][0] * 9 + f[i-1][1]) % MODNUM;
	 	f[i][1] = (f[i-1][1] * 9 + f[i-1][0]) % MODNUM;
	}
	//单独处理第n位（最高位），因为最高位不能为0，故不取3时，只有8种可能 
	f[n][0] = (f[n-1][0] * 8 + f[n-1][1]) % MODNUM;
    
    return f[n][0];
}

int Fun_2(int n) //降维优化 
{
 	int ai, bi; //分别表示前i位取偶数（包含0）个3有几种情况，和前i位取奇数个3有几种情况
 	int ai_1 = 9; //第1位有偶数（0）个3，即第1位可以去除了3以外的其他9个数字，有9种情况 
    int bi_1 = 1; //第1位有奇数（1）个3，即第1位取数字3，只有1种情况
	
	for (int i=2; i<n; i++) //处理第2到第n-1位数，每位数均有取3或不取3两种可能，其中不取3时，可以取除3以外的其他9个数字
	{
	 	ai = (ai_1 * 9 + bi_1) % MODNUM;
	 	bi = (bi_1 * 9 + ai_1) % MODNUM;
	 	ai_1 = ai; //迭代处理 
	 	bi_1 = bi; //迭代处理 
	}
	//单独处理第n位（最高位），因为最高位不能为0，故不取3时，只有8种可能 
	ai = (ai_1 * 8 + bi_1) % MODNUM;
    
    return ai;
}