拉格朗日乘数法与对偶性

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1.1、定义

拉格朗日乘数法通过引入拉格朗日乘子，可将有 d 个变量与 k 个约束条件的极值问题（最优化问题）转化为具有 d+k 个变量的无约束优化问题。

先放两张图有助于后面的理解

1.2、等式约束

假设x为d维向量，欲寻找x的最优值x∗，使目标函数f(x)最小且同时满足g(x)=0的约束。

引出拉格朗日函数

由于f(x)是凸函数，也就是x^*是唯一的，可以通过下面2个式子来求x∗。

g(x*)=0

因此，原约束优化问题可转化为对拉格朗日函数（式(1)）的无约束优化问题。

从几何角度看，该问题的目标是在由方程 g(x)=0 确定的 d−1 维曲面上寻找能使目标函数 f(x) 最小化的点。因此，有以下结论：

① 对于约束曲面上任意点 x，该点的梯度 ∇g(x) 正交于约束曲面；

② 在最优点 x∗，目标函数在该点的梯度∇f(x∗) 正交于约束曲面。（反证法：若梯度∇f(x∗) 与约束曲面不正交，则仍可在约束曲面上移动该点使函数值进一步下降）

即在最优点 x∗，梯度 ∇g(x) 和 ∇f(x) 的方向必相同或相反，即式(2)成立：

1.3、不等式约束

把上面的约束换成不等式约束g(x)≤0

对于g(x)<0, λ=0

对于g(x)=0,λ>0

可以推出KKT条件

1.4、对偶性

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两种优化方法：拉格朗日乘数法 拉格朗日对偶问题

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2373

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原始问题与拉格朗日函数假设f(x),ci(x),hj(x)f(x),c_{i}(x),h_{j}(x)f(x),ci(x),hj(x)是定义在Rn\mathbf{R}^{n}Rn上的连续可微函数。对于一个约束最优化问题： (1)min&amp;amp;amp;amp;amp;nbsp;f(w)s.t.&amp;amp;amp;amp;amp;nbsp;gi(w)⩽0，i=1,2,...,k&amp;amp;amp;amp;amp;nbsp;hw=0,i=

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Mortal's blog

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拉格朗日乘子法和对偶问题详解

Ἥλιος

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[如何用拉格朗日乘数法解决带不等式约束的优化问题？]

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### 使用拉格朗日乘数法解决带不等式约束的优化问题的方法和步骤 #### 1. 问题定义在数学优化中，带有不等式约束的问题可以表示为： $$ \text{minimize } f(x), \quad \text{subject to } g_i(x) \leq 0, \, i = 1, \dots, m, $$ 其中 $f(x)$ 是目标函数，$g_i(x)$ 是不等式约束[^1]。 #### 2. 拉格朗日函数构造引入拉格朗日乘数 $\lambda_i \geq 0$，构造拉格朗日函数： $$ \mathcal{L}(x, \lambda) = f(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i g_i(x), $$ 其中 $\lambda_i$ 是与每个不等式约束 $g_i(x)$ 对应的拉格朗日乘数[^2]。 #### 3. KKT条件为了求解上述优化问题，必须满足 KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件。KKT 条件包括以下几点： - **原始可行性**：约束条件必须满足 $g_i(x) \leq 0, \, i = 1, \dots, m$。 - **对偶可行性**：拉格朗日乘数必须非负 $\lambda_i \geq 0, \, i = 1, \dots, m$。 - **互补松弛性**：对于每个约束 $g_i(x)$，有 $\lambda_i g_i(x) = 0$。这意味着如果某个约束是严格的（即 $g_i(x) < 0$），则对应的 $\lambda_i = 0$；如果某个约束是活跃的（即 $g_i(x) = 0$），则 $\lambda_i > 0$。 - **站点条件**：拉格朗日函数关于变量 $x$ 的梯度必须为零，即 $\nabla_x \mathcal{L}(x, \lambda) = 0$[^3]。 #### 4. 解决方法通过求解 KKT 条件，可以获得优化问题的解。具体步骤如下： - 构造拉格朗日函数 $\mathcal{L}(x, \lambda)$。 - 根据 KKT 条件，列出方程组并求解： - 原始可行性：$g_i(x) \leq 0$。 - 对偶可行性：$\lambda_i \geq 0$。 - 互补松弛性：$\lambda_i g_i(x) = 0$。 - 站点条件：$\nabla_x \mathcal{L}(x, \lambda) = 0$。 - 求解上述方程组，得到 $x$ 和 $\lambda$ 的值。 #### 5. 示例分析假设需要最小化目标函数 $f(x, y) = x^2 + y^2$，并且存在不等式约束 $g(x, y) = x + y - 1 \leq 0$。 - 构造拉格朗日函数： $$ \mathcal{L}(x, y, \lambda) = x^2 + y^2 + \lambda (x + y - 1). $$ - 列出 KKT 条件： - 原始可行性：$x + y - 1 \leq 0$。 - 对偶可行性：$\lambda \geq 0$。 - 互补松弛性：$\lambda (x + y - 1) = 0$。 - 站点条件：$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 2x + \lambda = 0$，$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 2y + \lambda = 0$。 - 求解方程组： - 从站点条件可得 $x = -\frac{\lambda}{2}$，$y = -\frac{\lambda}{2}$。 - 将其代入互补松弛性条件，可得 $\lambda (x + y - 1) = 0$。 - 如果 $\lambda = 0$，则 $x = y = 0$，但此时 $x + y - 1 = -1 < 0$，满足原始可行性。 - 如果 $\lambda > 0$，则 $x + y - 1 = 0$，结合 $x = y = -\frac{\lambda}{2}$，可得 $\lambda = 2$，从而 $x = y = -1$。最终解为 $x = 0, y = 0$ 或 $x = y = -1$，根据目标函数值选择最优解。 ```python from sympy import symbols, Eq, solve # 定义符号 x, y, lamb = symbols('x y lamb') # 目标函数和约束条件 objective = x**2 + y**2 constraint = x + y - 1 # 拉格朗日函数 L = objective + lamb * constraint # 求导并列出方程组 eq1 = Eq(2*x + lamb, 0) eq2 = Eq(2*y + lamb, 0) eq3 = Eq(lamb * (x + y - 1), 0) # 解方程组 solutions = solve((eq1, eq2, eq3), (x, y, lamb)) print(solutions) ``` ####