异或高斯消元+暴搜 lights 燈

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探讨USACO 2009 November 赛事中的“lights”问题，介绍如何利用类似异或方程组的方法求解最少操作次数以开启所有灯。涉及递归搜索与高斯消元算法。

问题 F: [Usaco2009 Nov]lights 燈
时间限制: 1 Sec 内存限制: 64 MB
题目描述
贝希和她的闺密们在她们的牛棚中玩游戏。但是天不从人愿，突然，牛棚的电源跳闸了，所有的灯都被关闭了。贝希是一个很胆小的女生，在伸手不见拇指的无尽的黑暗中，她感到惊恐，痛苦与绝望。她希望您能够帮帮她，把所有的灯都给重新开起来！她才能继续快乐地跟她的闺密们继续玩游戏！牛棚中一共有N（1 <= N <= 35）盏灯，编号为1到N。这些灯被置于一个非常复杂的网络之中。有M（1 <= M <= 595）条很神奇的无向边，每条边连接两盏灯。每盏灯上面都带有一个开关。当按下某一盏灯的开关的时候，这盏灯本身，还有所有有边连向这盏灯的灯的状态都会被改变。状态改变指的是：当一盏灯是开着的时候，这盏灯被关掉；当一盏灯是关着的时候，这盏灯被打开。问最少要按下多少个开关，才能把所有的灯都给重新打开。数据保证至少有一种按开关的方案，使得所有的灯都被重新打开。
输入
＊第一行：两个空格隔开的整数：N和M。
＊第二到第M+1行：每一行有两个由空格隔开的整数，表示两盏灯被一条无向边连接在一起。没有一条边会出现两次。
输出
第一行：一个单独的整数，表示要把所有的灯都打开时，最少需要按下的开关的数目。

样例输入
5 6
1 2
1 3
4 2
3 4
2 5
5 3
輸入細節：
一共有五盞燈。燈1、燈4和燈5都連接著燈2和燈3。
样例输出
3
輸出細節：
按下在燈1、燈4和燈5上面的開關。
提示

是很像异或方程组（刚刚学会。。）
最终的状态（常数项）为1，代表亮了。如果两个灯连接，相应位置为一
而最后解出来对于每个灯，有的确定了状态，有的还是自由元（状态不确定），对于自由元，还要深搜确定最小解。
那么我们来从n到1倒叙枚举，
对于一个确定的，他的状态为他之后（已定的（也可以是dfs中暂定的自由元）的状态异或之和）再异或上常数项（开灭），就是自己的状态。
对于自由元，两种情况分别枚举，

对于这个方程，如果属于自己这一位系数是0，那自己是什么对自己的方程无影响，就可以枚举。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,m,ans=10000,sum,a[40][40],w[40];
inline void dfs(int x)
{
    if(sum>=ans)return;
    if(!x){if(sum<ans)ans=sum;return;}
    if(a[x][x])
    {
        int l=a[x][n+1];
        for(int i=x+1;i<=n;i++)if(a[x][i])l^=w[i];
        w[x]=l;
        if(l==1)sum++;
        dfs(x-1);
        if(l==1)sum--;
    }
    else
    {
        w[x]=0;dfs(x-1);
        w[x]=1;sum++;dfs(x-1);sum--;
    }
}
void gaosi()
{
    int i,j,k;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        j=i;
        while(j<=n&&!a[j][i])j++;
        if(j>n)continue;
        if(i!=j)for(k=1;k<=n+1;k++)swap(a[i][k],a[j][k]);
        for(j=1;j<=n;j++)
            if(i!=j&&a[j][i]==1)
                for(k=1;k<=n+1;k++)
                    a[j][k]^=a[i][k];
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);int x,y;
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i][i]=1,a[i][n+1]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d",&x,&y),a[x][y]=a[y][x]=1;
    gaosi();
    dfs(n);
    cout<<ans;
}