算法学习(4)：分治法

分治法的基本思想

将规模为N的问题分解为k个规模较小的子问题,使这些子问题相互独立可分别求解,再将k个子问题的解合并成原问题的解.如子问题的规模仍很大,则反复分解直到问题小到可直接求解为止。

                       

什么情况适合分治法？

1. 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；
2. 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质；
3. 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
4. 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。

分治法的求解过程： 划分——》求子问题——》合并

divide_and_conquer(P)
{
	if ( |P| <= n0 )   //解决小规模的问题
		return adhoc(P);
	for (i=1; i<=k; i++) //将P分解为较小的子问题
	{
		yi = divide_and_conquer(Pi);  //递归的解各子问题
	}
	return merge(y1,...,yk);  //将各子问题的解合并为原问题的解
}

• |P|：表示问题P的规模
• n0：表示为阀值，即问题规模不超过n0就可以很容易解决，不必再继续分解。

时间复杂度：

                                               

是不是分治法必须用递归？

递归可以很好的满足分治法划分子问题的方式，所以一般都用递归，当然也可以不用递归。

实例问题1：

二路归并排序

                                         

算法思路：若n为1,算法终止;否则,将n个待排元素分割成k(k=2)个大致相等子集合A、B,对每一个子集合分别递归排序,再将排好序的子集归并为一个集合。

1、分解：

void MergeSortDC(RecType R[], int low, int mid) 
{
	int mid;
	if (low < high) {
		mid = (mid + high) / 2;
		MergeSortDC(R, low, high);
		MergeSortDC(R, mid+1, high);
		Merge(R, low, mid, high);
	}
}
void MergeSort(RecType R[], int n) 
{
	MergeSortDC(R, 0, n-1);
}

2、归并：

void Merge(RecType R[]，int low，int mid，int high) 
{
	RecType *R1;
	int i=low, j=mid+1, k=0; //k是R1的下标，i、j分别为第1、2段的下标

	R1=(RecType *)malloc((high-low+1)*sizeof(RecType));
	while (i<=mid && j<=high) 
	{
		if (R[i].key<=R[j].key)  	//将第1段中的记录放入R1中
		{
			R1[k]=R[i];
			i++;k++;
		}
		else   　　　　　　　　　	//将第2段中的记录放入R1中
		{
			R1[k]=R[j];
			j++;k++;
		}
	}
	while (i<=mid)         //将第1段余下部分复制到R1
	{
		R1[k]=R[i];
		i++;k++;
	}
	while (j<=high)        //将第2段余下部分复制到R1
	{
		R1[k]=R[j];
		j++;k++;
	}
	for (k=0, i=low; i<=high; k++,i++) 	//将R1复制回R中
		R[i]=R1[k];
	free(R1);
}