【蓝桥杯C++ B组】杨辉三角形

最新推荐文章于 2023-03-29 16:27:34 发布

王牌飞行员11

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文章标签：蓝桥杯

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/QHBfuture/article/details/123599392

这篇博客探讨了如何使用二分查找算法在杨辉三角中寻找特定数值的最短路径。通过分析杨辉三角的特性，如对称性、斜行递增和横行递减，确定了从中间斜行倒序二分查找的策略。同时，提供了组合数计算函数以辅助查找，并给出了一段C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

二分

1、思路怎么想？

（1）因为杨辉三角是左右对称的，所以n最早出现的位置只能是左半部分。

所以，只看左半部分，

（2）每一行中越靠近中间的数越大，每一斜行中越往下越大。所以从最下面的斜行往上枚举。

（3） n最大1e9，C(34, 17) > 1e9, C(32, 16) < 1e9，因此只要枚举前16个斜行即可！

（4）可以发现性质：

1）每一斜行从上到下递增

2）每一横行从中间到两边依次递

因此我们直接从中间对称轴倒序二分找起即可，

（5）二分查找每一斜行，

1）因为，每个斜行的第一个数是C(2k, k)依次为C(2k + 1, k)...，并且还是递增的。

只有上标变，所以我们只枚举上标，从2k到max(n , l)。

2）为什么是到max(n , l)？

是因为，从中间沿斜行往下递增，所以，如果n这个数在该斜行内，那么必然n > l

3）因此，

二分的左右端点：l：2k，r：max(n, l)

右端点一定不能比左端点小！

特例：否则当n=1时，会出问题！

（6）因为二分查找的是上标，所以我们还需写一个函数，去求组合数

用于与数字n比较，查找

（7）最后查找到之后，求该数的位置

C(r, k)对应的顺序值为：(r + 1) * r / 2 + k + 1

2、代码怎么写？

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

typedef long long LL;
int n;

//3、求组合数
// C(a, b) = a!/b!(a-b)! = a * (a-1) .. b个 / b!
LL c(int a , int b)
{
    LL res = 1;
    for( int i = a , j = 1 ; j <= b ; i -- , j ++ )
    {
        res = res * i / j;
        if(res > n) return res;// 大于n没有意义并且防止爆LL
    }
    return res;
}


bool check( int k )
{
    //2、二分查找
    // 二分该斜行,找到大于等于该值的第一个数
    // 左边界2k，右边界为max(l, n)取二者最大即可！
    LL l = 2 * k , r = max(l , (LL)n);
    while(l < r)
    {
        LL mid = l + r >> 1;
        if(c(mid , k) >= n) r = mid;//c(mid , k)表示组合数
        else l = mid + 1;
    }
    
    if(c(r , k) != n) return false;//不在该斜行中
    cout << (r + 1) * r / 2 + k + 1 << endl;
    //C(r, k)对应的顺序值为：(r + 1) * r / 2 + k + 1
    return true;
}

int main()
{
    cin >> n;
    //1、枚举每一斜行，从第16个斜行开始枚举
    for( int k = 16 ; ; k -- )
        if(check(k))
            break;
    
    return 0;
}