动态规划设计——最长递增子序列_最长递增子序列的设计-优快云博客

题目

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注意「子序列」和「子串」这两个名词的区别，子串一定是连续的，而子序列不一定是连续的。下面先来一步一步设计动态规划算法解决这个问题。

为什么可以用动态规划解决

每个数为结尾可组成的最大子序列 = 它前一个最大的小于它的数组成的最大子序列 + 1

动态规划解法

动态规划的核心设计思想是数学归纳法。

相信大家对数学归纳法都不陌生，高中就学过，而且思路很简单。比如我们想证明一个数学结论，那么我们先假设这个结论在 $k < n$ 时成立，然后想办法证明 $k = n$ 的时候此结论也成立。如果能够证明出来，那么就说明这个结论对于 k 等于任何数都成立。

类似的，我们设计动态规划算法，不是需要一个dp数组吗？我们可以假设 $d p [0 . . . i - 1]$ 都已经被算出来了，然后问自己：怎么通过这些结果算出dp[i]？

直接拿最长递增子序列这个问题举例你就明白了。不过，首先要定义清楚dp数组的含义，即dp[i]的值到底代表着什么？

我们的定义是这样的：dp[i]表示以nums[i]这个数结尾的最长递增子序列的长度。
举两个例子：

在这里插入图片描述
算法演进的过程是这样的，：

根据这个定义，我们的最终结果（子序列的最大长度）应该是 dp 数组中的最大值。

int res = 0;
for (int i = 0; i < dp.size(); i++) {
    res = Math.max(res, dp[i]);
}
return res;

读者也许会问，刚才这个过程中每个 dp[i] 的结果是我们肉眼看出来的，我们应该怎么设计算法逻辑来正确计算每个 dp[i] 呢？

这就是动态规划的重头戏了，要思考如何进行状态转移，这里就可以使用数学归纳的思想：

我们已经知道了 $d p [0 . . . 4]$ 的所有结果，我们如何通过这些已知结果推出 $d p [5]$ 呢？
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根据刚才我们对 dp 数组的定义，现在想求 dp[5] 的值，也就是想求以 nums[5] 为结尾的最长递增子序列。

nums[5] = 3，既然是递增子序列，我们只要找到前面那些结尾比 3 小的子序列，然后把 3 接到最后，就可以形成一个新的递增子序列，而且这个新的子序列长度加一。

当然，可能形成很多种新的子序列，但是我们只要最长的，把最长子序列的长度作为 dp[5] 的值即可。
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for (int j = 0; j < i; j++) {
    if (nums[i] > nums[j]) 
        dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
}

这段代码的逻辑就可以算出 dp[5]。

算出dp数组其他的值：

for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
    for (int j = 0; j < i; j++) {
        if (nums[i] > nums[j]) 
            dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
    }
}

还有一个细节问题，dp 数组应该全部初始化为 1，因为子序列最少也要包含自己，所以长度最小为 1。下面我们看一下完整代码：

public int lengthOfLIS(int[] nums) {
    int[] dp = new int[nums.length];
    // dp 数组全都初始化为 1
    Arrays.fill(dp, 1);
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (nums[i] > nums[j]) 
                dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
        }
    }

    int res = 0;
    for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
        res = Math.max(res, dp[i]);
    }
    return res;
}