CF721C Journey 题解

首先可以发现，本题实际上类似一个 DAG 上的背包问题。

那么我们有一个很显然的做法：

设 $f[v][t]$ 表示从点 $1$ 到达点 $v$，路径长度为 $t$ 的所有方案中的最大点数，转移方程平凡，这里略去。

但是 $T\le 10^9$ ，这样做空间会炸飞。

可喜的是，答案一定是小于等于 $n$ 的，同时 $n\le 5000$，这启发我们可以考虑 $O(n^2)$ 空间的算法。

我们换个角度思考：既然枚举距离求点的最大值不行，那么枚举点数求距离的最小值是否可行？

观察数据范围，在复杂度上这显然是可行的。

所以我们试着考虑转移方程：

设 $f[v][t]$ 表示从点 $1$ 到达点 $v$，经过点数为 $t$ 的所有方案中的最短路径。

那么我们有转移方程：（其中 $prefix(v)$ 表示点 $v$ 的前驱，即所有能够到达点 $v$ 的点，$w$ 表示边 $u\to v$ 的长度）

$$f[v][t]=\underset{u\in prefix(v)}{\min }(f[u][t-1]+w$$