【LeetCode77】组合

题目描述

给定区间 [1, n] 和一个整数 k，需要返回所有可能的 k 个数的组合。

思路

1. 算法选择：回溯算法
   回溯算法是一种试探性搜索方法，非常适合用来解决组合问题。基本思想是：
   • 从数字 1 开始，逐步构建组合。
   • 当当前组合的长度等于 k 时，将该组合加入结果集。
   • 否则，继续尝试添加后续的数字。
   • 在尝试过程中，每一步都“做出选择”并递归，递归返回后撤销该选择（即“回溯”），从而探索其他可能的组合。
2. 剪枝优化
   为了提高效率，可以在遍历时进行剪枝：
   • 如果当前已选数字个数加上剩余可选数字总数仍然不足以达到 k，则可以直接退出循环，避免不必要的递归调用。

代码

class Solution:
    def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:
        res = []

        # param path: 当前已经选择的数字组合
        def backtrack(start: int, path: List):
            if len(path) == k:
                res.append(path.copy())
            for i in range(start, n + 1): # 遍历从 start 到 n 的所有数字,注意区间的开闭
                # 剪枝：如果剩余数字数量不足以填满组合，则直接退出
                if len(path) + (n - i + 1) < k:
                    break
                 # 选择当前数字 i，加到当前组合中
                path.append(i)
                # 递归调用，从下一个数字开始继续选择
                backtrack(i + 1, path)
                # 回溯：撤销选择，将数字 i 从当前组合中删除
                path.pop()
        backtrack(1, [])
        return res

总结

1. 回溯算法核心思想

   • 递归构造：用一个递归函数 backtrack 来构造组合，每次递归选择一个数字加入到当前组合 path 中。
   • 结束条件：当 path 的长度等于 k 时，将当前组合复制后加入结果集 res，然后结束当前递归分支。
   • 回溯撤销：递归调用返回后，使用 path.pop() 撤销上一次选择，从而恢复到上一步的状态，准备尝试其他选择。

2. 剪枝优化技巧
   在 for 循环中，通过判断 len(path) + (n - i + 1) < k 来判断剩余的数字数量是否足够凑齐 k 个数。如果不足，则直接 break，避免无谓的递归调用，从而提高效率。
   由于需要枚举所有的组合，在最坏情况下，组合数量会非常大，但通过剪枝可以在一定程度上减小实际递归调用的次数。

3. 递归与状态保存：在递归过程中，path 用于保存当前构造的组合状态，使用 path.copy() 保证加入结果集的是当前状态的一个副本，避免后续修改影响已经保存的组合