本文介绍伸展树的基本概念与特性，包括其作为自调整二叉查找树的特点，以及如何通过旋转操作实现高效查找。文中提供了伸展树的C语言实现代码，包括节点插入、删除和旋转等关键操作。
概要
本章介绍伸展树。它和"二叉查找树"和"AVL树"一样，都是特殊的二叉树。在了解了"二叉查找树"和"AVL树"之后，学习伸展树是一件相当容易的事情。和以往一样，本文会先对伸展树的理论知识进行简单介绍，然后给出C语言的实现。后序再分别给出C++和Java版本的实现；这3种实现方式的原理都一样，选择其中之一进行了解即可。若文章有错误或不足的地方，希望您能不吝指出！
目录
1. 伸展树的介绍
2. 伸展树的C实现
3. 伸展树的C测试程序
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更多内容: 数据结构与算法系列 目录
(01) 伸展树(一)之 图文解析 和 C语言的实现
(02) 伸展树(二)之 C++的实现
(03) 伸展树(三)之 Java的实现
伸展树的介绍
伸展树(Splay Tree)是一种二叉排序树，它能在O(log n)内完成插入、查找和删除操作。它由Daniel Sleator和Robert Tarjan创造。
(01) 伸展树属于二叉查找树，即它具有和二叉查找树一样的性质：假设x为树中的任意一个结点，x节点包含关键字key，节点x的key值记为key[x]。如果y是x的左子树中的一个结点，则key[y] <= key[x]；如果y是x的右子树的一个结点，则key[y] >= key[x]。
(02) 除了拥有二叉查找树的性质之外，伸展树还具有的一个特点是：当某个节点被访问时，伸展树会通过旋转使该节点成为树根。这样做的好处是，下次要访问该节点时，能够迅速的访问到该节点。
假设想要对一个二叉查找树执行一系列的查找操作。为了使整个查找时间更小，被查频率高的那些条目就应当经常处于靠近树根的位置。于是想到设计一个简单方法，在每次查找之后对树进行重构，把被查找的条目搬移到离树根近一些的地方。伸展树应运而生，它是一种自调整形式的二叉查找树，它会沿着从某个节点到树根之间的路径，通过一系列的旋转把这个节点搬移到树根去。
相比于"二叉查找树"和"AVL树"，学习伸展树时需要重点关注是"伸展树的旋转算法"。
伸展树的C实现
1. 节点定义
typedef int Type; typedef struct SplayTreeNode { Type key; // 关键字(键值) struct SplayTreeNode *left; // 左孩子 struct SplayTreeNode *right; // 右孩子 } Node, *SplayTree;
伸展树的节点包括的几个组成元素:
(01) key -- 是关键字，是用来对伸展树的节点进行排序的。
(02) left -- 是左孩子。
(03) right -- 是右孩子。
外部接口
// 前序遍历"伸展树" void preorder_splaytree(SplayTree tree); // 中序遍历"伸展树" void inorder_splaytree(SplayTree tree); // 后序遍历"伸展树" void postorder_splaytree(SplayTree tree); // (递归实现)查找"伸展树x"中键值为key的节点 Node* splaytree_search(SplayTree x, Type key); // (非递归实现)查找"伸展树x"中键值为key的节点 Node* iterative_splaytree_search(SplayTree x, Type key); // 查找最小结点：返回tree为根结点的伸展树的最小结点。 Node* splaytree_minimum(SplayTree tree); // 查找最大结点：返回tree为根结点的伸展树的最大结点。 Node* splaytree_maximum(SplayTree tree); // 旋转key对应的节点为根节点。 Node* splaytree_splay(SplayTree tree, Type key); // 将结点插入到伸展树中，并返回根节点 Node* insert_splaytree(SplayTree tree, Type key); // 删除结点(key为节点的值)，并返回根节点 Node* delete_splaytree(SplayTree tree, Type key); // 销毁伸展树 void destroy_splaytree(SplayTree tree); // 打印伸展树 void print_splaytree(SplayTree tree, Type key, int direction);
2. 旋转
旋转的代码
/* * 旋转key对应的节点为根节点，并返回根节点。 * * 注意： * (a)：伸展树中存在"键值为key的节点"。 * 将"键值为key的节点"旋转为根节点。 * (b)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key < tree->key。 * b-1 "键值为key的节点"的前驱节点存在的话，将"键值为key的节点"的前驱节点旋转为根节点。 * b-2 "键值为key的节点"的前驱节点存在的话，则意味着，key比树中任何键值都小，那么此时，将最小节点旋转为根节点。 * (c)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key > tree->key。 * c-1 "键值为key的节点"的后继节点存在的话，将"键值为key的节点"的后继节点旋转为根节点。 * c-2 "键值为key的节点"的后继节点不存在的话，则意味着，key比树中任何键值都大，那么此时，将最大节点旋转为根节点。 */ Node* splaytree_splay(SplayTree tree, Type key) { Node N, *l, *r, *c; if (tree == NULL) return tree; N.left = N.right = NULL; l = r = &N; for (;;) { if (key < tree->key) { if (tree->left == NULL) break; if (key < tree->left->key) { c = tree->left; /* 01, rotate right */ tree->left = c->right; c->right = tree; tree = c; if (tree->left == NULL) break; } r->left = tree; /* 02, link right */ r = tree; tree = tree->left; } else if (key > tree->key) { if (tree->right == NULL) break; if (key > tree->right->key) { c = tree->right; /* 03, rotate left */ tree->right = c->left; c->left = tree; tree = c; if (tree->right == NULL) break; } l->right = tree; /* 04, link left */ l = tree; tree = tree->right; } else { break; } } l->right = tree->left; /* 05, assemble */ r->left = tree->right; tree->left = N.right; tree->right = N.left; return tree; }
上面的代码的作用：将"键值为key的节点"旋转为根节点，并返回根节点。它的处理情况共包括：
(a)：伸展树中存在"键值为key的节点"。
将"键值为key的节点"旋转为根节点。
(b)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key < tree->key。
b-1) "键值为key的节点"的前驱节点存在的话，将"键值为key的节点"的前驱节点旋转为根节点。
b-2) "键值为key的节点"的前驱节点存在的话，则意味着，key比树中任何键值都小，那么此时，将最小节点旋转为根节点。
(c)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key > tree->key。
c-1) "键值为key的节点"的后继节点存在的话，将"键值为key的节点"的后继节点旋转为根节点。
c-2) "键值为key的节点"的后继节点不存在的话，则意味着，key比树中任何键值都大，那么此时，将最大节点旋转为根节点。
下面列举个例子分别对a进行说明。
在下面的伸展树中查找10，共包括"右旋" --> "右链接" --> "组合"这3步。
第一步： 右旋
对应代码中的"rotate right"部分
第二步： 右链接
对应代码中的"link right"部分
第三步： 组合
对应代码中的"assemble"部分
提示：如果在上面的伸展树中查找"70"，则正好与"示例1"对称，而对应的操作则分别是"rotate left", "link left"和"assemble"。
其它的情况，例如"查找15是b-1的情况，查找5是b-2的情况"等等，这些都比较简单，大家可以自己分析。
3. 插入
/* * 将结点插入到伸展树中(不旋转) * * 参数说明： * tree 伸展树的根结点 * z 插入的结点 * 返回值： * 根节点 */ static Node* splaytree_insert(SplayTree tree, Node *z) { Node *y = NULL; Node *x = tree; // 查找z的插入位置 while (x != NULL) { y = x; if (z->key < x->key) x = x->left; else if (z->key > x->key) x = x->right; else { printf("不允许插入相同节点(%d)!\n", z->key); // 释放申请的节点，并返回tree。 free(z); return tree; } } if (y==NULL) tree = z; else if (z->key < y->key) y->left = z; else y->right = z; return tree; } /* * 创建并返回伸展树结点。 * * 参数说明： * key 是键值。 * parent 是父结点。 * left 是左孩子。 * right 是右孩子。 */ static Node* create_splaytree_node(Type key, Node *left, Node* right) { Node* p; if ((p = (Node *)malloc(sizeof(Node))) == NULL) return NULL; p->key = key; p->left = left; p->right = right; return p; } /* * 新建结点(key)，然后将其插入到伸展树中，并将插入节点旋转为根节点 * * 参数说明： * tree 伸展树的根结点 * key 插入结点的键值 * 返回值： * 根节点 */ Node* insert_splaytree(SplayTree tree, Type key) { Node *z; // 新建结点 // 如果新建结点失败，则返回。 if ((z=create_splaytree_node(key, NULL, NULL)) == NULL) return tree; // 插入节点 tree = splaytree_insert(tree, z); // 将节点(key)旋转为根节点 tree = splaytree_splay(tree, key); }
外部接口: insert_splaytree(tree, key)是提供给外部的接口，它的作用是新建节点(节点的键值为key)，并将节点插入到伸展树中；然后，将该节点旋转为根节点。
内部接口: splaytree_insert(tree, z)是内部接口，它的作用是将节点z插入到tree中。splaytree_insert(tree, z)在将z插入到tree中时，仅仅只将tree当作是一棵二叉查找树，而且不允许插入相同节点。
4. 删除
删除接口
/* * 删除结点(key为节点的键值)，并返回根节点。 * * 参数说明： * tree 伸展树的根结点 * z 删除的结点 * 返回值： * 根节点(根节点是被删除节点的前驱节点) * */ Node* delete_splaytree(SplayTree tree, Type key) { Node *x; if (tree == NULL) return NULL; // 查找键值为key的节点，找不到的话直接返回。 if (splaytree_search(tree, key) == NULL) return tree; // 将key对应的节点旋转为根节点。 tree = splaytree_splay(tree, key); if (tree->left != NULL) { // 将"tree的前驱节点"旋转为根节点 x = splaytree_splay(tree->left, key); // 移除tree节点 x->right = tree->right; } else x = tree->right; free(tree); return x; }
delete_splaytree(tree, key)的作用是：删除伸展树中键值为key的节点。
它会先在伸展树中查找键值为key的节点。若没有找到的话，则直接返回。若找到的话，则将该节点旋转为根节点，然后再删除该节点。
注意：关于伸展树的"前序遍历"、"中序遍历"、"后序遍历"、"最大值"、"最小值"、"查找"、"打印"、"销毁"等接口与"二叉查找树"基本一样，这些操作在"二叉查找树"中已经介绍过了，这里就不再单独介绍了。当然，后文给出的伸展树的完整源码中，有给出这些API的实现代码。这些接口很简单，Please RTFSC(Read The Fucking Source Code)！
伸展树的C实现(完整源码)
伸展树的头文件(splay_tree.h)
1 #ifndef _SPLAY_TREE_H_ 2 #define _SPLAY_TREE_H_ 3 4 typedef int Type; 5 6 typedef struct SplayTreeNode { 7 Type key; // 关键字(键值) 8 struct SplayTreeNode *left; // 左孩子 9 struct SplayTreeNode *right; // 右孩子 10 } Node, *SplayTree; 11 12 // 前序遍历"伸展树" 13 void preorder_splaytree(SplayTree tree); 14 // 中序遍历"伸展树" 15 void inorder_splaytree(SplayTree tree); 16 // 后序遍历"伸展树" 17 void postorder_splaytree(SplayTree tree); 18 19 // (递归实现)查找"伸展树x"中键值为key的节点 20 Node* splaytree_search(SplayTree x, Type key); 21 // (非递归实现)查找"伸展树x"中键值为key的节点 22 Node* iterative_splaytree_search(SplayTree x, Type key); 23 24 // 查找最小结点：返回tree为根结点的伸展树的最小结点。 25 Node* splaytree_minimum(SplayTree tree); 26 // 查找最大结点：返回tree为根结点的伸展树的最大结点。 27 Node* splaytree_maximum(SplayTree tree); 28 29 // 旋转key对应的节点为根节点。 30 Node* splaytree_splay(SplayTree tree, Type key); 31 32 // 将结点插入到伸展树中，并返回根节点 33 Node* insert_splaytree(SplayTree tree, Type key); 34 35 // 删除结点(key为节点的值)，并返回根节点 36 Node* delete_splaytree(SplayTree tree, Type key); 37 38 // 销毁伸展树 39 void destroy_splaytree(SplayTree tree); 40 41 // 打印伸展树 42 void print_splaytree(SplayTree tree, Type key, int direction); 43 44 #endif
伸展树的实现文件(splay_tree.c)
/**
* SplayTree伸展树(C语言): C语言实现的伸展树。
*
* @author skywang
* @date 2014/02/03
*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include "splay_tree.h"
/*
* 前序遍历"伸展树"
*/
void preorder_splaytree(SplayTree tree)
{
if(tree != NULL)
{
printf("%d ", tree->key);
preorder_splaytree(tree->left);
preorder_splaytree(tree->right);
}
}
/*
* 中序遍历"伸展树"
*/
void inorder_splaytree(SplayTree tree)
{
if(tree != NULL)
{
inorder_splaytree(tree->left);
printf("%d ", tree->key);
inorder_splaytree(tree->right);
}
}
/*
* 后序遍历"伸展树"
*/
void postorder_splaytree(SplayTree tree)
{
if(tree != NULL)
{
postorder_splaytree(tree->left);
postorder_splaytree(tree->right);
printf("%d ", tree->key);
}
}
/*
* (递归实现)查找"伸展树x"中键值为key的节点
*/
Node* splaytree_search(SplayTree x, Type key)
{
if (x==NULL || x->key==key)
return x;
if (key < x->key)
return splaytree_search(x->left, key);
else
return splaytree_search(x->right, key);
}
/*
* (非递归实现)查找"伸展树x"中键值为key的节点
*/
Node* iterative_splaytree_search(SplayTree x, Type key)
{
while ((x!=NULL) && (x->key!=key))
{
if (key < x->key)
x = x->left;
else
x = x->right;
}
return x;
}
/*
* 查找最小结点：返回tree为根结点的伸展树的最小结点。
*/
Node* splaytree_minimum(SplayTree tree)
{
if (tree == NULL)
return NULL;
while(tree->left != NULL)
tree = tree->left;
return tree;
}
/*
* 查找最大结点：返回tree为根结点的伸展树的最大结点。
*/
Node* splaytree_maximum(SplayTree tree)
{
if (tree == NULL)
return NULL;
while(tree->right != NULL)
tree = tree->right;
return tree;
}
/*
* 旋转key对应的节点为根节点，并返回根节点。
*
* 注意：
* (a)：伸展树中存在"键值为key的节点"。
* 将"键值为key的节点"旋转为根节点。
* (b)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key < tree->key。
* b-1 "键值为key的节点"的前驱节点存在的话，将"键值为key的节点"的前驱节点旋转为根节点。
* b-2 "键值为key的节点"的前驱节点存在的话，则意味着，key比树中任何键值都小，那么此时，将最小节点旋转为根节点。
* (c)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key > tree->key。
* c-1 "键值为key的节点"的后继节点存在的话，将"键值为key的节点"的后继节点旋转为根节点。
* c-2 "键值为key的节点"的后继节点不存在的话，则意味着，key比树中任何键值都大，那么此时，将最大节点旋转为根节点。
*/
Node* splaytree_splay(SplayTree tree, Type key)
{
Node N, *l, *r, *c;
if (tree == NULL)
return tree;
N.left = N.right = NULL;
l = r = &N;
for (;;)
{
if (key < tree->key)
{
if (tree->left == NULL)
break;
if (key < tree->left->key)
{
c = tree->left; /* 01, rotate right */
tree->left = c->right;
c->right = tree;
tree = c;
if (tree->left == NULL)
break;
}
r->left = tree; /* 02, link right */
r = tree;
tree = tree->left;
}
else if (key > tree->key)
{
if (tree->right == NULL)
break;
if (key > tree->right->key)
{
c = tree->right; /* 03, rotate left */
tree->right = c->left;
c->left = tree;
tree = c;
if (tree->right == NULL)
break;
}
l->right = tree; /* 04, link left */
l = tree;
tree = tree->right;
}
else
{
break;
}
}
l->right = tree->left; /* 05, assemble */
r->left = tree->right;
tree->left = N.right;
tree->right = N.left;
return tree;
}
/*
* 将结点插入到伸展树中(不旋转)
*
* 参数说明：
* tree 伸展树的根结点
* z 插入的结点
* 返回值：
* 根节点
*/
static Node* splaytree_insert(SplayTree tree, Node *z)
{
Node *y = NULL;
Node *x = tree;
// 查找z的插入位置
while (x != NULL)
{
y = x;
if (z->key < x->key)
x = x->left;
else if (z->key > x->key)
x = x->right;
else
{
printf("不允许插入相同节点(%d)!\n", z->key);
// 释放申请的节点，并返回tree。
free(z);
return tree;
}
}
if (y==NULL)
tree = z;
else if (z->key < y->key)
y->left = z;
else
y->right = z;
return tree;
}
/*
* 创建并返回伸展树结点。
*
* 参数说明：
* key 是键值。
* parent 是父结点。
* left 是左孩子。
* right 是右孩子。
*/
static Node* create_splaytree_node(Type key, Node *left, Node* right)
{
Node* p;
if ((p = (Node *)malloc(sizeof(Node))) == NULL)
return NULL;
p->key = key;
p->left = left;
p->right = right;
return p;
}
/*
* 新建结点(key)，然后将其插入到伸展树中，并将插入节点旋转为根节点
*
* 参数说明：
* tree 伸展树的根结点
* key 插入结点的键值
* 返回值：
* 根节点
*/
Node* insert_splaytree(SplayTree tree, Type key)
{
Node *z; // 新建结点
// 如果新建结点失败，则返回。
if ((z=create_splaytree_node(key, NULL, NULL)) == NULL)
return tree;
// 插入节点
tree = splaytree_insert(tree, z);
// 将节点(key)旋转为根节点
tree = splaytree_splay(tree, key);
}
/*
* 删除结点(key为节点的键值)，并返回根节点。
*
* 参数说明：
* tree 伸展树的根结点
* z 删除的结点
* 返回值：
* 根节点(根节点是被删除节点的前驱节点)
*
*/
Node* delete_splaytree(SplayTree tree, Type key)
{
Node *x;
if (tree == NULL)
return NULL;
// 查找键值为key的节点，找不到的话直接返回。
if (splaytree_search(tree, key) == NULL)
return tree;
// 将key对应的节点旋转为根节点。
tree = splaytree_splay(tree, key);
if (tree->left != NULL)
{
// 将"tree的前驱节点"旋转为根节点
x = splaytree_splay(tree->left, key);
// 移除tree节点
x->right = tree->right;
}
else
x = tree->right;
free(tree);
return x;
}
/*
* 销毁伸展树
*/
void destroy_splaytree(SplayTree tree)
{
if (tree==NULL)
return ;
if (tree->left != NULL)
destroy_splaytree(tree->left);
if (tree->right != NULL)
destroy_splaytree(tree->right);
free(tree);
}
/*
* 打印"伸展树"
*
* tree -- 伸展树的节点
* key -- 节点的键值
* direction -- 0，表示该节点是根节点;
* -1，表示该节点是它的父结点的左孩子;
* 1，表示该节点是它的父结点的右孩子。
*/
void print_splaytree(SplayTree tree, Type key, int direction)
{
if(tree != NULL)
{
if(direction==0) // tree是根节点
printf("%2d is root\n", tree->key);
else // tree是分支节点
printf("%2d is %2d's %6s child\n", tree->key, key, direction==1?"right" : "left");
print_splaytree(tree->left, tree->key, -1);
print_splaytree(tree->right,tree->key, 1);
}
}伸展树的测试程序(splaytree_test.c)
/**
* C 语言: 伸展树测试程序
*
* @author skywang
* @date 2014/02/03
*/
#include <stdio.h>
#include "splay_tree.h"
static int arr[]= {10,50,40,30,20,60};
#define TBL_SIZE(a) ( (sizeof(a)) / (sizeof(a[0])) )
void main()
{
int i, ilen;
SplayTree root=NULL;
printf("== 依次添加: ");
ilen = TBL_SIZE(arr);
for(i=0; i<ilen; i++)
{
printf("%d ", arr[i]);
root = insert_splaytree(root, arr[i]);
}
printf("\n== 前序遍历: ");
preorder_splaytree(root);
printf("\n== 中序遍历: ");
inorder_splaytree(root);
printf("\n== 后序遍历: ");
postorder_splaytree(root);
printf("\n");
printf("== 最小值: %d\n", splaytree_minimum(root)->key);
printf("== 最大值: %d\n", splaytree_maximum(root)->key);
printf("== 树的详细信息: \n");
print_splaytree(root, root->key, 0);
i = 30;
printf("\n== 旋转节点(%d)为根节点\n", i);
printf("== 树的详细信息: \n");
root = splaytree_splay(root, i);
print_splaytree(root, root->key, 0);
// 销毁伸展树
destroy_splaytree(root);
}伸展树的C测试程序
伸展树的测试程序运行结果如下：
== 依次添加: 10 50 40 30 20 60 == 前序遍历: 60 30 20 10 50 40 == 中序遍历: 10 20 30 40 50 60 == 后序遍历: 10 20 40 50 30 60 == 最小值: 10 == 最大值: 60 == 树的详细信息: 60 is root 30 is 60's left child 20 is 30's left child 10 is 20's left child 50 is 30's right child 40 is 50's left child == 旋转节点(30)为根节点 == 树的详细信息: 30 is root 20 is 30's left child 10 is 20's left child 60 is 30's right child 50 is 60's left child 40 is 50's left child
测试程序的主要流程是：新建伸展树，然后向伸展树中依次插入10,50,40,30,20,60。插入完毕这些数据之后，伸展树的节点是60；此时，再旋转节点，使得30成为根节点。
依次插入10,50,40,30,20,60示意图如下：
将30旋转为根节点的示意图如下：
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