概率论基础-条件概率、全概率公式、贝叶斯公式

一、条件概率

  1.1 条件概率定义

    条件概率是指事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为：$P(A|B)$，读作“在B的条件下A的概率”。

  1.2 条件概率例题

    投掷一枚硬币2次**，A表示“至少有一次出现正面”；B表示“两次出现同一面”，求$P(A)$、$P(B)$、$P(AB)$、$P(B|A)$、$P(B|\overline{A}))$
    其可能情况如下所示：

正、正	正、反
反、正	反、反

    因此，$P(A)=\frac{3}{4}$、$P(B)=\frac{1}{2}$、$P(AB)=\frac{1}{4}$、$P(B|A)=\frac{1}{3}$、$P(B|\overline{A})=1$。

    设A和B为任意两事件，且$P(A)>0$，比值$\frac{P(AB)}{P(A)}$为事件A发生条件下B发生的条件概率–>记为：$P(B|A))=\frac{P(AB)}{P(A)}$

    拓展：若事件$A_1、A_2、A_3、A_4...A_n$互不相容，则有如下推论：
P ( ( A 1 + A 2 + A 3 + . . . A n ) ∣ B ) ) = P ( ( A 1 + A 2 + A 3 + . . . A n ) B ) P ( B ) = P ( A 1 ∣ B ) + P ( A 1 ∣ B ) + . . . P ( A n ∣ B ) \begin{aligned} P((A_{1}+A_{2}+A_{3}+...A_{n})|B))&=\frac{P((A_{1}+A_{2}+A_{3}+...A_{n})B)}{P(B)}\\& =P(A_1|B)+P(A_1|B)+...P(A_n|B) \end{aligned} P((A1​+A2​+A3​+...An​)∣B))​=P(B)P((A1​+A2​+A3​+...An​)B)​=P(A