树形动态规划之树的最大独立集

树的最大独立集

对于一颗n个结点的无根树，选出尽量多的的结点，使得任何两个结点均不相邻（称为最大独立集），然后输入n-1条无向边，输出一个最大独立集（如果有多解，则任意输出一组）。

分析：

用d（i）表示以i为根结点的子树的最大独立集的大小。此时需要注意的是，本题的树是无根的：没有所谓的父子关系，而只是一些无向边。没关系，只要任选一个跟r，无根树就变成了有根树，上述状态的定义也就有意义了。

结点i只有两种决策，选和不选。如果不选i，则问题转化为求出i所有的儿子的d值再相加；若选i，则它的儿子全部不能选，问题转化为了求出i的所有孙子的d值之和。换句话说，状态转移方程为：

d（i）=max{1+Ed(j)(j属于gs(i)),Ed(j)(j属于s(i))}

其中gs(i)和s(i)分别代表i的孙子集合和儿子集合。

代码应该如何编写呢？上面的方程涉及“枚举结点i的所有儿子和孙子结点”，颇为不便。其实可以换另一个角度来看：不从i找s(i)和gs(i)的元素，而从s(i)和gs（i）的元素找i。换句话说，当计算出一个d（i）后，用它去更新i的父亲和祖父结点的累加值Ed(j)(j属于gs(i)和Ed(j)(j属于s(i))。这样一来，每个结点不必记录其子结点有哪些，只需记录父结点即可。