弗洛伊德算法

弗洛伊德算法详解

                算法的数据结构

 

弗洛伊德算法采用图的带权邻接矩阵存储结构。

 

                算法基本思想

假设求顶点Vi到Vj的最短路径。弗洛伊德算法依次找从Vi到Vj，中间经过结点序号不大于0的最短路径，不大于1的最短路径，…直到中间顶点序号不大于n-1的最短路径，从中选取最小值，即为Vi到Vj的最短路径。

 

                算法具体描述

若从Vi到Vj有弧，则从Vi到Vj存在一条长度为弧上权值（arcs[i][j] ）的路径，该路径不一定是最短路径，尚需进行n次试探。
 首先考虑从Vi到Vj经过中间顶点V0的路径（Vi，V0，Vj）是否存在，也就是判断弧（Vi，V0）和（V0，Vj）是否存在。若存在，则比较（Vi，Vj）和（Vi，V0，Vj）的路径长度取较短的为从Vi到Vj的中间顶点序号不大于0的最短路径。
在此路径上再增加一个顶点V1，也就是说，如果（Vi，…V1）和（V1，…Vj）分别是当前找到的中间顶点序号不大于0的最短路径，那么，（Vi，…V1，…Vj）就有可能是从Vi到Vj的中间顶点序号不大于1的最短路径。将它和已经得到的从Vi到Vj中间顶点序号不大于0的最短路径相比较，从中选出最短的作为从Vi到Vj中间顶点序号不大于1的最短路径。
然后，再增加一个顶点V2继续进行这个试探过程。
一般情况下，若（Vi，…Vk）和（Vk，…Vj）分别是从Vi到Vk和从Vk到Vj的中间顶点序号不大于k-1的最短路径，则将（Vi，…，Vk，…Vj）和已经得到的从Vi到Vj的中间顶点序号不大于k-1的最短路径相比较，其长度最短者即为从Vi到Vj的中间顶点序号不大于k的最短路径。
经过n次比较之后，最后求得的便是从Vi到Vj的最短路径。
    按此方法可同时求得各对顶点之间的最短路径。 
现定义一个n阶方阵序列
   D（-1），D（0），D（1），…，D（k），…，D（n-1）
其中
   D（-1）[i][j]=arcs[i][j]
   D（k）[i][j]=Min{ D（k-1）[i][j], D（k-1）[i][k]+D（k-1）[k][j]}     0≤k≤n-1
   上述公式中，D（1）[i][j]是从 Vi到Vj的中间顶点序号不大于 k的最短路径长度；D（n-1）[i][j]是从Vi到Vj的最短路径长度。

 

               算法实现

 void shortestpath_Floyd(Mgraph  G,pathmatrix &P[],Distancmatrix &D){

//用Floyd算法求有向网G中各对顶点v和w之间的最短路径P[v][w]及其带权路径长度D[v][w]。
  //若P[v][w][u]为TRUE，则u是从v到w当前求得最短路径上的顶点。
 For (v=0;v<G.vexnum;++v)    //各对顶点之间路径和距离初始化
   For (w=0;w<G.vexnum;++w){
    D[v][w]=G.arcs[v][w];
    For (u=0;u<G.vexnum;++u)   P[v][w][u]=false;
    If (D[v][w]<INFINITY){      //从v到w有直接路径
       P[v][w][v]=true;P[v][w][w]=true;
       }//if
}//for
for (u=0;u<G.vexnum;++u)
  for (v=0;v<G.vexnum;++v)
for (w=0;w<G.vexnum;++w)
  if (D[v][u]+D[u][w]<D[v][w]){   //从v经u到w的一条路径更短
     D[v][w]= D[v][u]+D[u][w]；
     For (I=0;I<G.vexnum;++I)
        P[v][w][I]=P[v][u][I]|| P[u][w][I];
   }//if
}//shortestpath_Floyd