[数据结构] AOE 求关键路径时事件的最早最迟发生时间的 max 或 min 计算式不包括后继或前驱点的 ve 或 vl 值

本文探讨了在AOE(Arc-Oriented Network)网络中,计算关键路径时节点的最早发生时间ve和最迟发生时间vl的计算疑惑。作者指出,在求vl过程中,一些资源将vl初始化为ve并逆拓扑消除节点,对于节点5的vl值应如何确定。通过深入理解,作者意识到在计算vl时,确实需要考虑后继或前驱点的ve或vl值,并提供了正确的计算方法:在计算过程中逐步更新历史最大值(max)或最小值(min)。

1. 问题描述

我不理解,aoe的关键路径问题,求点的最迟时间vl的时候
我首先先令vl=ve,然后逆拓扑,去掉节点6

在这里插入图片描述

那节点5的vl怎么就是7了
他明明是求min,那不应该是min{8-1,6}=6嘛
除非他列的两个步骤说错了,不和 vl[k] 比,自始自终只有每一个 vl[j]-weight(vk,vl) 之间比
就像第四行写的min{vl[j]-weight(vk,vl)} 那样,如果有 vl[k] 的话那应该写成 min{vl[j]-weight(vk,vl),vl[k]}

在这里插入图片描述

我看网上都是只有 min{vl[j]-weight(vk,vl)}
就这样了,王道误我hhh

在这里插入图片描述

2. 解决办法

实际上算关键路径的时候不可避免考虑后继或前驱点的 ve 或 vl 值
比如这题:

在这里插入图片描述

解答:

正确的说法是:**B** --- ### ✅ 正确答案:**B** --- ### 逐项分析与解释: --- #### **A. 关键路径是以拓扑排序为基础的** ✅ **正确** - 关键路径法(Critical Path Method, CPM)用于AOE网(Activity On Edge Network),即“边表示活动”的有向无环图。 - 在计算事件最早发生时间,必须按照**顶的拓扑顺序**进行更新,否则可能在前驱未处理完的情况下就计算了后续事件,导致错误。 - 因此,关键路径的第一步是**对AOE网进行拓扑排序**,然后基于该顺序计算事件最早发生时间。 - 所以 A 正确。 --- #### **B. 一个事件最早发生时间与以该事件为始的弧的活动最早开始时间相同** ❌ **正确** 我们来澄清概念: - 在 AOE 网中: - **顶** 表示 **事件**(event) - **边** 表示 **活动**(activity),带有持续时间 - 一条弧(边)`<v_i, v_j>` 表示从事件 `v_i` 发生后开始活动,到事件 `v_j` 发生结束 定义: - **事件 v 的最早发生时间 `ve(v)`**:是从源到该顶的最长路径长度(因为所有进入该事件的活动都必须完成) - **活动(弧)a 的最早开始时间 `e(a)`**:等于该弧**起事件最早发生时间** > 即:对于弧 `<i, j>` 表示的活动 a,其最早开始时间 `e(a) = ve(i)` 而题目说:“一个事件最早发生时间与以该事件为始的弧的活动最早开始时间相同” 即:`ve(j) == e(<j,k>)`? 这是错误的! 实际上: - `e(<j,k>) = ve(j)` - 而 `ve(j)` 是事件 j 的最早发生时间 - 所以应该是:**以事件 j 为起的活动的最早开始时间 = 事件 j 的最早发生时间** - 而是“事件最早发生时间等于该活动的最早开始时间”——这因果倒置了 更严重的是,这个选项表达模糊且逻辑颠倒。它试图说: > `ve(j) = e(<j,k>)` 但根据定义,`e(<j,k>) = ve(j)`,所以两者数相等没错,但**语义完全同**。 然而,选项说的是“相同”,看似成立,但注意关键词:“**以该事件为始的弧的活动最早开始时间**” → 就是 `e(arc)`,确实等于 `ve(event)`。 那是是对的? ⚠️ 注意!问题在于理解“相同”的含义。 但从标准教材定义来看: - 活动的最早开始时间 = 其**起事件最早发生时间** - 所以 `e(a) = ve(起)` - 因此,事件 `v` 的最早发生时间 `ve(v)` 确实等于所有从 `v` 出发的活动的最早开始时间 👉 所以 **B 其实是正确的?** 等等,再仔细读一遍: > “一个事件最早发生时间与以该事件为始的弧的活动最早开始时间相同” 语法结构: - 主语:一个事件最早发生时间 - 谓语:与……相同 - 宾语:以该事件为始的弧的活动最早开始时间 即:`ve(v) == e(a)`,其中 a 是从 v 出发的弧 ✔️ 这正是定义! 所以 **B 居然也是正确的?** 但我们前面说是“正确”。矛盾? 再看其他选项。 --- #### **C. 一个事件最迟发生时间为以该事件为尾的弧的活动最迟开始时间与该活动的持续时间的差** 先理清术语: - “以该事件为尾的弧” → 弧的尾是该事件,即从该事件出发的弧(出边) 比如弧 `<i,j>`,i 是尾,j 是头 设事件 i 则“以 i 为尾的弧”就是从 i 出发的弧 `<i,j>` - 活动 `<i,j>` 的最迟开始时间记作 `l(<i,j>)` - 定义:`l(<i,j>) = vl(j) - w(i,j)`,其中 `vl(j)` 是终 j 的最迟发生时间,w 是活动耗事件 i 的最迟发生时间 `vl(i)` 定义为:在影响整个工程工期的前提下,事件 i 最晚可以发生刻 如何计算? - 对每个从 i 出发的活动 `<i,j>`,必须满足:`vl(i) ≤ l(<i,j>)` - 所以 `vl(i) = min{ l(<i,j>) } = min{ vl(j) - w(i,j) }` 即:**事件 i 的最迟发生时间 = 所有从 i 出发的活动的最迟开始时间中的最小** 现在看选项 C: > “一个事件最迟发生时间为以该事件为尾的弧的活动最迟开始时间与该活动的持续时间的差” 这句话结构清,歧义很大。 原句: > “一个事件最迟发生时间为以该事件为尾的孤的活动最迟开始时间与该活动的持续时间的差” 解析: - 事件最迟发生时间 = (活动最迟开始时间) - (活动持续时间) 但这对! 根据定义: - `l(a) = vl(j) - w(a)` → 所以 `vl(j) = l(a) + w(a)` 也就是说: - 终事件 j 的最迟发生时间 = 活动最迟开始时间 + 持续时间 而选项 C 说的是: - 事件 i(作为弧尾)的最迟发生时间 = 活动最迟开始时间 - 持续时间? 即:`vl(i) = l(a) - w(a)`? 错! 实际是:`l(a) = vl(i)`(对于出边 a 来说,最迟开始时间就是起事件最迟发生时间上限) 更准确地说:`l(a) ≤ vl(i)`,并且我们用 `vl(i) = min{l(a)}` 所以根本是减去持续时间的关系。 例如: - 若 `vl(j)=10`, `w=3` → 则 `l(a)=7` - 那么 `vl(i)` 必须 ≤ 7 - 所以 `vl(i) = min{...}`,而是 `7 - 3 = 4` 因此,选项 C 的说法是 ❌ **错误的** --- #### 再对比 B 和 C ##### 回到 B: > “一个事件最早发生时间与以该事件为始的弧的活动最早开始时间相同” ✔️ 正确,因为: - `e(a) = ve(起事件)` - 所以事件最早发生时间 = 从它出发的活动的最早开始时间 ##### C: > “一个事件最迟发生时间为以该事件为尾的弧的活动最迟开始时间与该活动的持续时间的差” 即:`vl(i) = l(a) - w(a)`? 但事实上: - `l(a) = vl(j) - w(a)` → `vl(j) = l(a) + w(a)` - 并非 `vl(i) = l(a) - w(a)` 而且 `vl(i)` 是由后继事件反推得到的,是通过减法从前驱来的 所以 C ❌ 错误 --- #### D. 关键活动一定位于关键路径上 ✅ 正确 - 关键活动:`e(a) = l(a)` 的活动(最早开始时间 = 最迟开始时间) - 关键路径:从源到汇的最长路径(决定总工期) - 所有关键活动必然构成属于某条关键路径 - 反之,在任何关键路径上的活动可能是关键活动 所以 D 正确 --- ### 结论: 虽然 B 表述略显别扭,但**含义正确** 而 C 的数学关系完全错误 --- ### ⚠️ 但是:原始题干中写的是“**以该事件为始的弧**”——“始”是否指“起始”? 中文中,“以该事件为始的弧” → 起始于该事件的弧 → 即出边 → 正确 所以 B 正确 但 C 中说: > “一个事件最迟发生时间为……活动最迟开始时间与该活动的持续时间的差” 即: ``` vl(i) = l(a) - duration ``` 这毫无依据。 正确的公是: ``` l(a) = vl(j) - duration // 活动最迟开始时间 => vl(j) = l(a) + duration ``` 和 `vl(i)` 无关 所以 C 是 ❌ 正确的 --- ### ✅ 最终结论:**正确的说法是 C** 但之前我以为是 B,现纠正。 --- #### 🔔 易混淆总结: | 概念 | 公 | |------|------| | 活动 `<i,j>` 最早开始时间 `e(i,j)` | `ve(i)` | | 活动 `<i,j>` 最迟开始时间 `l(i,j)` | `vl(j) - w(i,j)` | | 事件 i 的最早发生时间 `ve(i)` | max{ ve(k) + w(k,i) },对所有入边 | | 事件 i 的最迟发生时间 `vl(i)` | min{ vl(j) - w(i,j) },对所有出边 | --- ```cpp // 示例:关键路径部分计算逻辑(简化) #include <iostream> #include <vector> #include <queue> using namespace std; struct Activity { int from, to, weight; }; // 假设有拓扑序的顶列表 void criticalPath(vector<int>& topoOrder, vector<vector<int>>& adjWeight, vector<int>& ve, vector<int>& vl) { int n = ve.size(); // 计算 ve: 事件最早发生时间 for (int u : topoOrder) { for (int v = 1; v < n; ++v) { if (adjWeight[u][v] > 0) { if (ve[v] < ve[u] + adjWeight[u][v]) { ve[v] = ve[u] + adjWeight[u][v]; } } } } // 初始化 vl 为汇ve int sink = topoOrder.back(); fill(vl.begin(), vl.end(), ve[sink]); // 逆拓扑序计算 vl for (int i = topoOrder.size()-1; i >= 0; --i) { int u = topoOrder[i]; for (int v = 1; v < n; ++v) { if (adjWeight[u][v] > 0) { if (vl[u] > vl[v] - adjWeight[u][v]) { vl[u] = vl[v] - adjWeight[u][v]; } } } } } ``` ---
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